《合情推理与演绎推理》文字素材1（新人教A版选修2-2）
展开剖析演绎推理证明的几种常见错误
- 偷换论题
例1求证四边形的内角和等于。
证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有
，
所以，四边形的内角和等于。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。
- 虚假论据
例2已知和是无理数，试证也是无理数。
证明：依题设和是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数，
所以也是无理数。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。
- 循环论证
例3在中，求证：。
证明：因为，
=。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。
- 不能推出
例4设。
求证：。
证明：因为
=，
。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出，即，原题才能得证。
演绎推理的三种类型
“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种情况，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。
1、显性三段论
在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。
例1、当为正数时，求证：
证明：因为一个实数的平方是非负数
而是一个实数的平方，
所以是非负数，即
所以，
评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“是一个实数的平方”，结论：“是非负数”，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确。
2、隐性三段论
三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论。
例2、判断函数的奇偶性
解：由于
且
故函数为奇函数
评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，用了；只是大前提“若函数是奇函数，则；若函数是偶函数，则
”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论的又一表现形式。
3、复式三段论
一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论。
例3、若数列的前项和为，求证：数列为等差数列。
证明：由
因此
故数列为等差数列
评析：本题的论证共有三层，即三次使用演绎推理，请看
第一层，大前提“若是数列的前项和，则”；小前提“数列的前项和为， 则”；结论“”；
第二层，大前提“对于非零数列，则有”；小前提“满足的数列有”；结论“”；
第三层，大前提“对于数列，若常数，则是等差数列”；小前提“由，得为常数”；结论“数列为等差数列”；在这三层中，层层深入，步步逼近，慢慢的向我们要论证的结论靠拢，这是一种很重要且很实用的分析思维过程。
