《数学归纳法》文字素材1（人教A版选修2-2）

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浅谈数学归纳法中k和n的时效性

数学归纳法历来作为高中数学的必修内容，它对培养学生的数学思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力，都有积极的作用，然而，学生在学习这一内容时，常常感到抽象难懂，我们先来看看数学归纳法的证题过程。

例：用数学归纳法证明能被（x+y）整除。

证明：整除，命题成立。

假设当时，命题成立

即

那么，当n=k+1时

根据归纳假设，能被（x+y）整除，

整除，也就是说，当n=k+1时，命题也成立。

综合知，命题对所有自然数N都成立，[证毕]

学生对上述证明过程的第二步觉得难以理解—怎么可用假设来证明呢？n是自然数，k也是自然数，k、n不是不同吗？为什么可以“假当n=k时命题成立呢”，k成立不就是n成立吗？还有n=k，n=k+1又是怎么一回事呢？学生对这些问题的存疑，势必影响学生对数学归纳法的理解和运用，要取得好的教学效果，必须先解决上述问题，但教材教参对上述问题也未做详述，多年的教学时间和探索，用“时效性”辨证地处理了k和n的关系，较好地解决了上述问题。

所谓时效性，是指k和n在证明过程的不同时刻有不同的含义和不同的效能，当命题证明正确后，k和n就等有效了，即k和n，n就是k；就本质而言，k和n是相同的，都具有任意性，都是任意自然数，也即是所有自然数，差异体现在时效性上，我想学讲解，在未证明命题正确之前，k和n是不同的，命题是要求证明对所有自然数n都成立，而归纳假设中的k，此时未可理解为所有的自然数，这时应把假设“当n=k时命题成立”中的k理解为特指—在无穷无尽的自然数N中，至少存在某一个能使命题成立的自然数，就特指这个自然数为k（或者说，若连这样一个k值都找不到，那么，命题根本不成立，事实上，证明过程中的已验证当n=1时，命题成立，自然数1便可做为命题成立的特指的第一个k值。（事实上，步骤中不一定验证n=1是否成立，而是验证当时是否成立，是使命题成立的最小自然数，所以，第一个特指的k值是）

证明过程第步中的k、k+1，也是任意自然数，两者的联系和区别，体现在任意性和给定性，k的任意性导致k+1的任意性，但一旦k给定后，k+1始终是k的后继数，因此中的k，k+1的是数学归纳法证明的命题中所包含着的无穷多个特殊命题中的任意两相邻命题之间的因果关系—如果k成立，那么k+1也成立，k为因，k+1为果，随着时效的改变，这种因果关系随时都在传递中交换，在交换中传递，也就是递推。

即由知当n=1时，成立，由有n=k+1=1+1=2时也成立，再取k=2，且由知，k+1=2+1=3也成立……。

换一种说法，由结合的递推过程就是：

如果k=1时命题成立，那么k=1+1=2时，命题也成立；

如果k=2时命题成立，那么k=2+1=3时，命题也成立

“K=2成立”是“k=1”成立的果，也是“k=3”成的因，也就是k=1的成立导致k=2的成立，k=2的成立又导致k=3的成立……这样一直传递下去，直至传遍所有自然数，故命题对所有自然数都成立（以开始的自然都成立）。既然命题对所有自然数都成立，k也成了所有自然数，这时，k、n等效，k和n都是任意自然数至此，学生紧锁的眉头舒展开了，如释重负豁然开朗起来。另：数学归纳法证题的另一难点是怎样利用归纳假设“当n=k时命题成立”来证明“n=k+1时”，命题也成立，对这个问题，首先应注意语句中的“也”字，“也”字强调了和前面的联系，说明了对前面“n=k时成立”的依赖，应向学生强调，数学归纳法对第步命题成立的判断，关键是结构形式的判断，这就需要很好的利用归纳假设，归纳假设一要用得上，要明确题目中归纳假设的结构形式，在步的运算变形过程中把它分离起来，以利于判断“也成立”，如前例中添项之后提取公因式，使之出现这一项，利用归纳假设就可以判断它能被（x+y）整除，所以当n=k+1时，命题也成立。