2013-2014学年高二数学 2.1《曲线与方程》知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1

2013-2014学年高中数学 2.1 曲线与方程知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1  1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B.将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.2．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(　　)A．(1,1)　　　　　　　　　　 B．(－1，－1)C．(1,1)、(－1，－1)   D．(0,0)解析：选C.由得或3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　)  解析：选B.方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，因此选B.4．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是(　　)A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：选A.设P(x，y)，则|PA|＝3|PO|可化为＝3，化简得8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0，故选A.5．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的(　　)A．充要条件   B．充分不必要条件C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件解析：选B.“点M在曲线y＝|x|上”“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.6．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.解析：将P(2，－3)代入曲线方程得4－9k＝1，∴k＝.答案：7．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.又M为AB的中点，所以即将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.答案：y＝4x28．给出下列结论：①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的直线的方程为y＝2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．解析：①不正确．方程等价于y＝x－2(x≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x轴距离为2的点的直线的方程应是|y－0|＝2，即y＝2或y＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为，即，∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③9．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝　表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，∴＝(x，－2y)，∴·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.1．方程＋＝1表示的图形是(　　)A．一条直线B．两条平行线段C．一个正方形D．一个正方形(除去四个顶点)解析：选D.由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称 ，且x≠0，y≠0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.2．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是__________．解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝　＝5.设点C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.3．已知A，B两点的坐标分别为A(0，－4)，B(0,4)，直线MA与MB的斜率之积为－1，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)．由A(0，－4)，B(0,4)，得kMA＝，kMB＝.又∵kMA·kMB＝－1，∴·＝－1，化简，得x2＋y2＝16.∵MA，MB都存在斜率，∴x≠0，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝16(x≠0)．4．若长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，求动点C的轨迹方程．解：设A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，b)，则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， ∵＝2，∴即又∵|AB|＝3，∴a2＋b2＝9，即9x2＋y2＝9，即x2＋＝1.故动点C的轨迹方程为x2＋＝1.