2021学年2.2 平面向量的线性运算教学设计

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浅谈如何学习平面向量 　　作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机．由于向量融数、形于一体，“具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介”．因而，向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，“使它在研究其它问题时得到了广泛的应用”．以下笔者着重介绍“平面向量”的考试要求，并针对此单元的学习谈几点粗浅建议．　　1．以本为本，重视教材的示范作用　　数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的．近年高考中平面向量的有些问题与课本的练习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对我们的学习具有指导意义．　　2．注重数学思想方法的学习　　（１）数形结合的思想方法　　由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．　　（２）化归转化的思想方法　　同学们在今后学习向量的夹角、平行、垂直等关系时均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决．　　（３）分类讨论的思想方法　　向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零．　　3．突出向量与其他数学知识的交汇　　新课程增加了新的学习内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是新的思维方法的引入，可以帮助我们更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题，启示我们在今后的学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其他知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”．总之，在新课的学习中，同学们应该系统地、全面地掌握平面向量的基础知识和基本技能，熟练地掌握重点知识及其应用，并注意数学思想方法的应用．            平面向量疑难问题辨析 　　１．问：向量与有向线段是否为同一概念？　　答：向量与有向线段不是同一概念．向量是既有大小又有方向的量，具有“数”与“形”的双重性质，它有两个要素：大小和方向；有向线段是具有方向的线段，它有三个要素：起点、方向和长度．有向线段是向量的一种几何直观表示．用有向线段表示向量时，它的起点可以是任意的，这与物理学中的矢量（向量）又有一定的区别，例如象“力”这样的向量既有大小和方向又有作用点．　　２．问：平行向量、共线向量、相等向量有什么关系？　　答：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量也叫共线向量．因此，共线向量与平行向量是同一概念．平行（或共线）向量的方向相同或相反，与向量的长度无关；同向且长度相等的向量，叫做相等向量．相等向量一定是共线（或平行）向量，但反过来，共线（或平行）向量不一定是相等向量．　　３．问：向量平行与直线平行是否一样？　　答：不一样．首先，向量与直线是不同的概念；其次，直线平行不包括重合的情形，而向量平行包括重合的情形．　　４．问：向量和实数，零向量和实数0各有什么区别？　　答：向量有大小、方向．大小即向量的长度（或模），记作，它是非负实数．两个向量的关系只能说相等或不相等，共线或不共线，“大于”、“小于”对向量来说无意义．向量的长度（或模）可比较大小，而实数仅有大小，无方向可言．　　“”指长度为０的向量，即，方向是任意的．规定“与任一向量平行（或共线）”；而实数０是一个无方向的实数．例如以下各式是错误的：0，0，0，．　　５．问：向量的三角形法则、平行四边形法则有什么区别？　　答：向量的三角形法则、平行四边形法则都是向量的几何运算．　　求和向量时，若一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量的三角形法则，即“始终相接，始指向终”；当两向量的始点相同时，可用向量的平行四边形法则．　　求差向量时，可用三角形法则，即“同始连终，指向被减”，如．．　　当向量共线（或平行）时，平行四边形法则对向量求和不再适用，只能利用三角形法则，即向量加法、减法的三角形法则具有一般性．　　向量的和、差的结果仍是向量．　　６．问：，则对吗？　　答：不对，若，则和可能不共线．　　７．问：单位向量有什么特点？　　答：给定一个非零向量，与同方向且长度等于１的向量，叫做的单位向量．它具有以下特点：①长度为１；②方向确定且与向量同向；③可有无数个．