《直接证明与间接证明》文字素材2（人教A版选修1-2）

小议“直接证明与间接证明”  一、要点透析1．综合法  一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。  用表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证。并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到。当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路。 2．分析法  一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。  用表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：  应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些判断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适。这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子。  当证题不知从何入手时，有时可运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效。3．综合法和分析法的区别与联系  分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件；综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种。  4．反证法  一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。  反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。用反证法证明命题“若则”的过程，可用下图所示的框图表示。  应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：  第一步：分清命题“”的条件和结论；  第二步：作出与命题结论相矛盾的假定；  第三步：由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；  第四步：判断产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真。  第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。 二、范例点悟例1 已知、、，求证：。  分析：不等式中的、、为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。  证明：∵，、、，∴，∴，∴。  同理：，  将三式相加得。  ∴。  ∴。  评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件。  例2  当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。  分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证只需证”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性。  证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明。  为了证明成立，只需证明，两边同乘以正数得，因此，只需证明。  因为上式是成立的，所以。  这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。  评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。  例3  已知三个关于的方程，，中，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。  分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决。  解析：三个方程都没有实根的充要条件是  即  解得。  ∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。