2021学年2.3 平面向量的基本定理及坐标表示学案

第2课时   平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作        ．并且||＝         ．

2．向量的坐标表示与起点为        的向量是一一对应的关系．

3．平面向量的坐标运算：

若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：

＋＝           

－＝           

λ＝           

已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝            ．

4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是         ．

例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．

解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, )

变式训练1.若，，则=                    .    

解: 提示：

例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．

解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝

变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．

解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1)

例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．

解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝

变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．

证明: k＝ ∴k－＝≥0  ∴k≥

例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．

(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；

(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．

解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，

 得x0＝10  y0＝6  即点C(10，6)

(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36   (y≠1)

∵M为AB的中点 ∴P分的比为

设P(x，y)，由B(7，1)  则D(3x－14，3y－2)

∴点P的轨迹方程为

变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．

解 已知A (0，1)，B (－3，4)  设C (0，5)，

D (－3，9)

则四边形OBDC为菱形  ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD

∵

∴

1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．