数学人教版新课标A2.3 平面向量的基本定理及坐标表示复习课件ppt

这是一份数学人教版新课标A2.3 平面向量的基本定理及坐标表示复习课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了回归课本，考点陪练，答案2，技法二方程的思想等内容，欢迎下载使用。
1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴､y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序数对(a1,a2)叫做向量a的坐标,记作a=(a1,a2),其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y轴上的坐标.
②设 =a1e1+a2e2,则向量 的坐标(a1,a2)就是终点A的坐标,即若 =(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反之亦成立(O是坐标原点).
2.平面向量的坐标运算(1)加法､减法､数乘运算
(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线 a=λbx1y2-x2y1=0.
1.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=
解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底.A中显然e1∥e2;C中e2=2e1,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.答案:B
2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案:A
3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)D.-11解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.答案:C
类型一平面向量基本定理的应用解题准备:已知e1,e2是平面的一组基底,如果向量a,e1,e2共面,那么有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.反之,如果有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,那么a,e1,e2共面.这是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分知识考查的重点内容.
[反思感悟](1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题.
类型二平面向量的坐标运算解题准备:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
[反思感悟]由A､B､C三点坐标易求得 坐标,再根据向量坐标的定义就可以求出M､N的坐标.向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点､终点､相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用.
类型三平面向量共线的坐标表示解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(a≠0),则b=λa.
【典例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求k;(4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
[分析](1)直接用向量加减法的坐标运算公式.(2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.(4)利用(d-c)∥(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组.
[解](1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),
(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=(4)设d=(x,y),∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴
[反思感悟]向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很多几何问题,特别是共线､共点等较难问题的证明,通过建立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等于0.
错源一遗漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.[错解]因为b=(m,-m)=m(1,-1),令c=(1,-1),b∥c,又a∥b,所以a∥c,即3×(-1)-1×(2-m)=0,解得m=5.
[剖析]零向量与任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平行.[正解]由a∥b,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值为0或5.[评析]零向量与任一向量都是平行(共线)向量,这是在解题中常常容易被忽视的.
错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误
[剖析]本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解.
[正解]由题设知, =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
①若a,b共线,则t可为任意实数;②若a,b不共线,则有 解之得综上,a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时
[评析]平面向量基本定理如果e1,e2是一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1､λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特别地,当a=0时,λ1=λ2=0,本题在a,b不共线时,就是根据这个定理得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.
技法一基向量法【典例1】在下图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点,点N在BD上,且 .求证:M、N、C三点共线.
[方法与技巧]重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程的思想,用对应系数相等建立方程组.
技法三函数的思想【典例3】已知a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(t∈R)的最小值及相应的t值.