2013-2014学年高中数学 1.2《应用举例》(第4课时)目标导学 新人教A版必修5

第4课时　几何计算问题1．复习巩固正弦定理、余弦定理．2．能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等．1．正弦定理【做一做1】在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于(　　)A．1     B．2   C．4     D．无法确定2．余弦定理【做一做2】 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)A．90°    B．120°    C．135°    D．150°3．几何计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha＝bsin C＝______；(2)hb＝csin A＝______；(3)hc＝asin B＝______；(4)S＝________.三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；(2)A＋B＋C＝π；(3)S＝aha(ha表示a边上的高)；(4)S＝(可用正弦定理推得)；(5)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆的半径)；(6)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)；(7)海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)．【做一做3－1】 在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于(　　)A.      B．2     C．4     D．6【做一做3－2】 在△ABC中，a＝4，b＝2，C＝45°，则△ABC的面积S＝__________. 答案：【做一做1】 A【做一做2】 B3．(1)csin B　(2)asin C　(3)bsin A　(4)bcsin A【做一做3－1】 D【做一做3－2】 21．三角形中的常用结论剖析：在△ABC中，边、角之间的关系有以下常用结论：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.②a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b.③A＋B＋C＝π.④a＞bA＞Bsin A＞sin B.⑤a＝bA＝B.⑥A为锐角cos A＞0a2＜b2＋c2；A为钝角cos A＜0a2＞b2＋c2；A为直角cos A＝0a2＝b2＋c2.⑦sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C.⑧sin ＝cos ，cos ＝sin .2．解三角形剖析：解三角形有四种情况，如下表所示：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC＝acsin B；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；S△ABC＝absin C；在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C；S△ABC＝absin C；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC＝absin C；可有一解、两解或无解题型一  求三角形的面积【例题1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(1)已知a＝3 cm，c＝4 cm，B＝30°；(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4 cm.分析：(1)可根据面积公式S＝acsin B直接求解；(2)要求三角形的面积，需知道三角形的两边及其夹角．反思：求三角形面积，常结合正弦定理、余弦定理，只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积．题型二  证明三角恒等式【例题2】 在△ABC中，求证：＝.分析：从左边证右边，化角为边或化边为角．题型三  实际应用问题【例题3】 一块四边形土地ABCD的形状如图所示，∠ADB＝60°，∠BDC＝40°，∠BCD＝125°，AD＝10 m，AB＝14 m，求四边形土地的面积(精确到0.01 m2)．分析：把四边形ABCD分割成△ABD和△BCD，分别求出这两个三角形的面积，其和即为所求．反思：实际问题中，在求不规则图形的面积时，常利用割补法，转化为求规则图形的面积．如本题分割成三角形．题型四  易错辨析【例题4】 已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长．错解：由S＝absin C，得5＝×4×5sin C，解得sin C＝，则C＝60°.由c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝a2＋b2－ab＝21，故c的长为.错因分析：由sin C＝求C时，忽视了C的范围，导致漏解． 答案：【例题1】 解：(1)依题意，由三角形的面积S＝acsin B，得S＝×3×4×sin 30°＝3(cm2)．(2)根据正弦定理＝，得c＝，则S＝bcsin A＝b2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，故S＝×42×＝(cm2)．【例题2】 证法一：化角为边左边＝＝·＝＝＝＝右边．证法二：化边为角左边＝＝＝＝＝右边 .【例题3】 解：在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，有142＝x2＋102－2·10xcos 60°，x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.∴S△ABD＝AD·BDsin∠ADB＝×10×16sin 60°≈69.282(m2)．在△BCD中，∠BCD＝125°，∠BDC＝40°，BD＝16，∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝15°.由正弦定理，得CD＝＝≈5.055.∴S△BCD＝BD·CDsin∠BDC＝×16×5.055sin 40°≈25.996(m2)．∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD≈69.282＋25.996≈95.28(m2)．即这个四边形土地面积约是95.28 m2.【例题4】 正解：由S＝absin C，得5＝×4×5sin C，解得sin C＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab＝21；当C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab＝61.∴c的长为或.1在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)A.     B.     C．     D．32 (2011·北京海淀二模)已知△ABC的面积S＝，A＝，则＝__________.3在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝__________.4如图所示，一块四边形土地ABCD的三边AD＝40 m，DC＝30 m，CB＝30 m，∠ADC＝150°，∠DCB＝120°，则该土地的面积约为__________ m2(精确到0.01 m2)．5在△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0. 答案：1．B　2.2　3.　4.909.335．证明：由正弦定理，则asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B，所以左边＝asin B－asin C＋bsin C－bsin A＋csin A－csin B＝(asin B－bsin A)＋(bsin C－csin B)＋(csin A－asin C)＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．