2013-2014学年高中数学 2.3《等差数列的前n项和》(第1课时)目标导学 新人教A版必修5

第1课时　等差数列的前n项和1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．1．数列的前n项和对于数列{an}，一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝______________.数列的前n项和必须从第1项开始，逐项相加到第n项，不能是其中几项的和．【做一做1】 数列9，－2，－10,3的前3项和S3＝__________.2．等差数列{an}的前n项和设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝＝na1＋__________.等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，前n项和公式Sn＝＝na1＋d.①上述两个公式共涉及到a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，即“知三求二”，而且方法就是解方程组，这也是解决等差数列问题的策略．②当已知首项a1，末项an，项数n时，常用公式Sn＝；当已知首项a1，公差d，项数n时，常用公式Sn＝na1＋d.【做一做2－1】 等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　　A．n          B．n(n＋1)C．n(n－1)         D.【做一做2－2】 等差数列{an}中，an＝2n－1，则其前n项和Sn＝__________. 答案：1．a1＋a2＋a3＋…＋an【做一做1】 －32.d【做一做2－1】 D　【做一做2－2】 n2　1．等差数列前n项和公式与函数的关系剖析：等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d可以写为Sn＝n2＋n.若令＝A，a1－＝B，则上式可以写成Sn＝An2＋Bn，即Sn是关于项数n的函数．当A＝0，B＝0时(此时a1＝0，d＝0)，Sn＝0是关于n的常数函数；当A＝0，B≠0时(此时a1≠0，d＝0)，Sn＝Bn是关于n的一次函数(正比例函数)；当A≠0时(此时d≠0)，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数．从上面的分析，我们可以看出：(1)一个数列{an}是等差数列，则其前n项和公式Sn＝f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常数函数，且其常数项为0，即Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．(2)如果一个数列的前n项和的表达式为Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)，则当C≠0时，数列{an}不是等差数列．(3)当d≠0时，点(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)，…在抛物线y＝x2＋x的图象上．(4)由二次函数图象的性质可知，当d＞0时，{an}是递增数列，Sn有最小值；当d＜0时，{an}是递减数列，Sn有最大值．2．Sn与an的关系剖析：已知数列{an}的通项公式an，前n项和Sn，则Sn与an有如下的关系：an＝推导如下：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，且当 n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1.∴当n≥2时， Sn－Sn－1＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)－(a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝an.又当n＝1时，a1＝S1，∴an＝若S1满足Sn－Sn－1形式，则有an＝Sn－Sn－1(n≥1，n∈N*)；若S1不满足Sn－Sn－1形式，则可表示成上述分段形式．这是实现an与Sn相互转化的重要方法．题型一  已知Sn求an【例题1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；　(2)Sn＝3n－2.分析：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)求解．反思：已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1(如本题(1))；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本题(2))．题型二  等差数列前n项和的有关计算【例题2】 已知等差数列{an}中，(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.分析：合理地使用前n项和公式，并注意其变形；要应用方程的思想．反思：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d， n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．题型三  等差数列前n项和的最值问题【例题3】 数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.(1)该数列前多少项都是非负数？(2)求此数列的前n项和Sn的最大值．分析：(1)满足不等式组的正整数解即是；(2)既可以从项的正负考虑，也可以利用等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，考虑对应二次函数的最值．反思：求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．Sn＝na1＋d＝n2＋n＝2－＝2－2.由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知，当n取最接近－的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)，如本题(2)方法二．值得注意的是最接近－的正整数可能有1个，也可能有2个．(2)根据项的正负来定．①首项a1＞0，公差d＜0，m满足时，前n项和Sn的最大值是Sm.②首项a1＜0，公差d＞0，m满足时，前n项和Sn的最小值是Sm.题型四  易错辨析【例题4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，求此数列的通项公式．错解：an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1.错因分析：∵Sn＝n2＋2，∴a1＝S1＝12＋2＝3，而当n＝1时，an＝2n－1＝2×1－1＝1≠3，则an＝2n－1不是数列{an}的通项公式．错解中忽视了an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.反思：已知数列{an}的前n项和Sn与an的关系求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须写明它成立的条件：n∈N*，n≥2，忽视了这一点往往会导致错误． 答案：【例题1】 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，则an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，则an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝[【例题2】 解：(1)∵Sn＝n·＋＝－15，整理，得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，∴a12＝＋(12－1)×＝－4.(2)由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【例题3】 解：(1)由a1＝50，d＝－0.6，知an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.令即解得＜m≤，又m∈N*，则m＝84，即前84项都是非负数．(2)方法一：由(1)得a84＞0，a85＜0，则Sn的最大值是S84＝50×84＋×(－0.6)＝2 108.4.方法二：Sn＝50n＋·(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.32＋，由二次函数的性质知，当n＝84时，Sn取最大值S84＝2 108.4.【例题4】 正解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝12＋2＝3，不适合上式，故an＝1 (2011·山东济南二模)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－17n，则当Sn取得最小值时，n的值为(　　)A．4或5         B．5或6C．4          D．52已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于(　　)[ A．9      B．8     C．7     D．63(2011·北京丰台一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S5＝10，则S7＝__________.4(2011·安徽“江南十校”高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为__________．5等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，此数列的通项公式为__________，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8等于__________． 答案：1．C　2.B　3.21　4.an＝5．an＝2n－11　－16