2020-2021学年2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教学设计

教学基本信息

课题

平面向量基本定理及坐标表示

学科

数学

学段： 2007——2008学年上学期

年级

高一

相关领域

《平面向量》

教材

书名：普通高中课程标准实验教科书  数学必修4（A版） 

出版社：人民教育出版社        出版日期：2007年1 月

教学设计参与人员

姓名

单位

联系方式

设计者

孙枫、许成文

牛栏山一中

69413081

讲课者

孙枫

牛栏山一中

13621211365

指导者

张庆辉、李淑静

顺义区考研中心

13693515600

课件制作者

许成文

牛栏山一中

86623293

其他参与者

刘爱军、夏桂杰等

牛栏山一中

13641028268

指导思想与理论依据

新课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”“还应注重提高学生的数学思维能力”“以及现代信息技术与数学课程有机整合……”.而我的这节《平面向量基本定理及坐标表示》的教学设计的基本想法就是通过学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括等数学思维活动，再借助信息技术的直观再现，使学生在获得新知的同时，对数学本质以及数学思想方法的理解也获得了一定程度的发展.

教学背景分析

教学内容：

本节课是人教A版必修4第二章《平面向量》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》的第1课时，本课时的内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”两小节.平面向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，而只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.因此平面向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了平面向量基本定理在向量知识体系中的核心地位.而向量的坐标表示作为向量的三种表现形式中的一种，使得向量的运算功能得到了充分的发挥，使得向量的工具性在本课时之后的学习中更加体现得淋漓尽致，所以本节内容在向量中也起到了承前启后的作用.

但本节课的内容偏于理论，在容量上有些偏多，这就使得在教学设计的各个环节都要有细致的规划.

学生情况：

我所用授课班级为我校高一的试验班，学生的基础较好，有过很好的思维训练，在平时的教学实践中我也经常设计各种形式的课堂教学，因此一定程度上培养了学生进行自主探究的能力以及随时进行合作交流的意识.

在此节课之前，学生已很好地掌握了向量的线性运算及其向量共线定理，并且对于向量加法的平行四边形法则都有较好的认识，这些都为这节课的进行做好了知识铺垫.

教学方式：

结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了小组合作交流与自主探究相结合的教学方式，而在知识构建过程中，又始终以教师引导为主线，使学生经历了动手操作、合作交流、观察发现、类比归纳、抽象概括等一系列的学习活动.因此本节课应该说是多种教学方式（也是多种学习方式）有效组合的一次尝试.

教学手段：

1.为了充分体现学生的主体地位，我借用实物投影，将学生的实践成果展示出来（或由学生自己进行展示说明），使得师生共同经历了知识从无到有、从特殊到一般再到特殊的认识过程.

2．为弥补学生动手操作中的局限，我运用几何画板制作了多媒体课件，借助现代信息技术手段，形象直观地再现了向量分解过程中的一般情形和特殊情况，展示出基底特殊化带来的便利，使向量坐标表示的引入水到渠成，使学生对于自己探究获得的结论有了更全面地认识和更准确地把握.

技术准备：

实物投影、几何画板课件

 教学目标(内容框架)

依据课程标准中对于“平面向量基本定理及坐标表示”的明确要求，也结合本班学生的实际状况以及前期教学中的一些经验与反思，我具体制定了以下教学目标：

1．了解平面向量基本定理及其意义，会将任意向量用同一平面内的一组基底线性表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会写出给定向量的坐标；

2．从向量的合成引入向量分解，进而得到基本定理及坐标表示，使学生在知识形成过程中直接体验“由实践到认识”、“由具体到抽象再到具体”的认知规律，体会“数”与“形”的相互转化思想以及类比的数学思想方法在问题研究中的价值；

3．增强学生合作交流的意识，培养学生积极探索勇于发现的学习品质.

问题框架(可选项)

【问题1】  设、是同一平面内的两个不共线的向量，你能否作出该平面内的任一向量在、这两个方向上的分解向量？

【问题2】  将与=进行类比，根据我们前面学习共线定理的经验，你认为在式子中我们应该关注些什么？

【问题3】  对于直角坐标平面内的每一个向量，是否也有坐标表示呢？

教学流程示意(可选项)

教学过程(文字描述)

（一）创设问题情境

1．提出思考问题：已知非零向量，那么同一平面内的任意向量是否能用线性表示？

设计意图：既巩固了上节的共线定理，也给学生留下了一个思维空间：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示，又该如何具体表示呢？进而形成本节课的设计主线：即从共线定理的一维量化到平面向量基本定理的二维量化.

2．自主完成作图：已知向量、，请作出向量3+2；

设计意图：此过程是让学生进一步体会：利用向量的线性运算、借助平行四边形法则可以合成一个向量(如图(1)).

(1)              (2)              

此后我及时提出质疑：向量能合成，是否也可以进行分解？进而引出一般问题：是否任意的向量都可以在两个向量方向上进行分解呢？(如图(2))

（二）探究构建定理

1．小组合作探究

引出【问题1】  设、是同一平面内的两个不共线的向量，你能否作出该平面内的任一向量在、这两个方向上的分解向量？

设计说明：问题1要求由小组合作来完成，并且每个成员要选定不同方向、大小的向量分别进行研究，这样设计从单个学生而言，体现向量的给定性，而从一个小组来说，又体现了向量的任意性.

学生活动说明：学生在小组分工操作后又进行自主探究，独立完成单个向量的分解，之后在组内交流，具体体验各种不同向量的分解，同时将向量用含有的式子具体表示出来.

2．获得初步结论：

(1)由小组个别成员展示组内分解的情况，并由学生总结出“可以用线性表示”，并将式子抽象概括出来.

(2)我通过质疑：是否可以取到任意实数？进而让学生意识到实际操作的局限，从而借助电脑课件来演示向量的任意情形（如下图），得出初步结论.

设计意图：不仅体现了学生的自主探究、小组协作的学习方式，同时也对学生进行了观察发现、抽象概括能力的训练，当然也突出了现代信息技术手段的不可替代的作用.

3．共同完善定理

（1）引出【问题2】  将与=进行类比，根据我们前面学习共线定理的经验，你认为在式子中我们应该关注些什么？

活动说明：在这个环节中，学生各抒己见，通过观察类比，得出：、不共线，是唯一的一对实数，师生分别就、共线情形，以及的唯一性借助课件进行了合理的分析.

（左图：、共线情形）         （右图：任意都对应唯一的一对实数对）

设计说明：问题2的设计是要与共线定理进行类比，让学生积极主动地发现知识之间的微妙联系，并引导学生给出合理的唯一性的解释，同时还鼓励学生对结论进行归纳总结. 这样设计不仅体现了学生观察发现、类比归纳的学习过程，同时也让学生都积极参与到对问题的思考当中，来主动参与数学学习，从而使学生的数学思维能力得到了发展.

（2）在学生归纳概括得到平面向量基本定理之后，及时回应开始提出的思考问题（如右图）.

设计意图：进一步深化结论，让学生再一次认识到平面内的任意一个向量都可以由一组基底量化，而且量化的结果是唯一的.

4．学生具体体验

（1）解决例1 ：如图，设是夹角为的一组基底，

且，，已知向量与向量的夹角均为，

，设=.求实数m,n.

（2）把主动权交给学生，让学生自己来任选一组基底，再来求相应的实数对，但选择的标准是使运算更简便.

设计意图：通过学生各抒己见，来达到一个共识(如图1)：当是两个垂直的单位向量时，是在直角三角形内解决问题，计算比较简便，同时引出向量的正交分解定义.

（3）在此情况下我又任取了一个向量(如图2) ，让学生继续求出此时的实数对m,n.

(1)                  (2)

并设计了问题：提到有序实数对你们会联想到什么？

设计意图：让学生逐步体验向量与实数对的对应，而提及有序实数对，学生自然就会想到点的坐标，由此引发学生联想：直角坐标平面内的每一个向量，是否也有坐标表示呢？从而为向量坐标表示的定义作好铺垫.

（三）向量坐标表示

1．体验一一对应

（1）我设计了平面直角坐标系中的两个与x,y轴

方向相同的单位向量、作为基底，由学生自主将平

面内的向量分别用基底表示；(如右图)

（2）变换问题角度：若已知有序实数对（2，-1）、（-2，3）等，

能否作出向量、？

活动说明：由学生实际动手在直角坐标系中进行作图. 我将学生的作图进行展示. 但在作图过程中，学生所作向量的起点都在原点，我及时进行引导，让学生明确可以选取平面内的任意点作为起点来作出相应向量，但这些向量都是相等向量.

设计意图：这样设计是为了与学生的认识统一，由于学生对于坐标的认识还仅仅限于直角坐标系，于是我便干脆以直角坐标系为基础，直接设计问题. 在这一环节中，让学生真切体会到平面直角坐标系中的每个向量都与一对有序实数对唯一对应，而每一对有序实数对也都对应着唯一的一个向量，通过让学生实际感受向量与有序实数对的一一对应关系，进而使向量坐标表示的定义水到渠成.

2．感受向量坐标定义

（1）学生自己阅读教材中关于向量坐标表示的定义，并要求学生标注关键的部分；

（2）师生一起关注向量坐标表示的定义：

①基底的基本特征；②平面上的任意向量均可用线性表示；（依据是什么？）

③得到唯一的有序实数对：(x,y)；（即为向量的坐标）；④表示法与叫法均与点的坐标不一样（由向量坐标的意义决定的）.

设计意图：训练学生阅读、理解和提炼加工的能力，在此基础上加深学生对于向量坐标意义的准确把握以及对于向量坐标与点的坐标细微差别的正确认识.

3．课堂巩固练习

（1）学生共同完成：如图，分别用、作为

基底表示各向量，并写出它们的坐标.

（2）总结一般规律：

向量的坐标就是该向量的终点M的坐标；

反之，点M的坐标就是向量的坐标.

   设计意图：先用基底表示，进而获得坐标，使学生对于向量坐标的意义有更深刻的理解；同时挖掘向量坐标与点的坐标的联系，不仅得到了一般结论，同时提出课后的一个思考问题：若向量的起点不在原点，向量的坐标与向量的起点和终点的坐标又有什么联系呢？从而增加了学生的思维密度.

（四）总结反思、提高认识

1．   回顾这节课的知识以及知识间的内在联系；

2．   研究问题的思想方法（数形结合、类比、从特殊到一般再到特殊）；

3．   对于向量的重新认识（既有形的特征，还有数的表现，是数与形的结合体）。

设计说明：分三方面由学生总结提炼这节课的收获和体会，教师进行适当的补充、说明。最后引用教材章头图中的一段话：如果没有运算，向量只是一个路标，因为有了运算，向量的力量无限.

教师结束语：而通过今天的学习，我们又可以说：正因为有了向量的坐标表示，才使得向量的运算功能得到了更充分地发挥，而这一点在今后的学习中将会有更深刻的体会.

（五）布置作业

思考题：

1．起点为原点的向量的坐标就是向量终点的坐标，若向量的起点不在原点，那么向量的坐标与它的起点和终点的坐标会有什么联系呢？

2．前面我们学习了向量的加、减、数乘运算，有了坐标表示之后，向量是否也可以用坐标形式进行运算呢？具体又能怎么算呢？你能做一下猜测吗？

作业本：第101页2、第102页3、4

学习效果评价设计

评价方式

观察学生思维反应情况、小组探究的参与度、练习的反馈等

评价量规

1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展等,具体体现在：

（1）在小组探究任意向量在两个方向上的分解环节中，我一直注意观察各个小组的操作情况，对于一些还不太明确探究方向的及时给予引导，而对于考虑不周全的小组进行必要的指导，从而使每个小组的所有成员都积极地参与到对问题的思考当中,发挥着各自的主动性.

（2）在对两个等式进行观察类比的环节，我重点观察学生的思维反映，在遇到学生不能很快明晰缘由时，及时从语言上进行启发与恰当的引导，而对于每一个参与回答问题和提出问题的学生都给予积极的肯定、及时的表扬，使每一个学生都能够积极地参与到数学思维活动中来，激发学生的求知欲望.

2.关注课堂上的巩固、体验环节，根据学生反映出来的实际情况,有针对性的加以纠正、补充、说明:

如：在体验一一对应环节中，我发现在实际作图时，学生全部都以原点为起点作向量，于是我及时微调教学设计，随机采取了亲自在平面上任意选取一点来作出相应向量. 这一设计，不仅可以排除学生的一些不清晰地认识，而且又进一步加深了对于向量分解的理解，更重要的是一对有序实数对对应着唯一的向量的认识更加深刻.

3. 学生的学习评价不应只体现在课堂上，因此我在作业环节留了两道思考问题，这也是对于学生学习效果的一个设计环节.

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)

1．在整体设计上

本节从平面向量共线定理的一维量化，到平面向量基本定理的二维量化，再到基底的特殊化，进而得到向量的坐标表示。实践证明这种设计不仅符合学生的认知规律，而且还充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学学习的能力.

2．在知识建构中

（1）“向量在两个方向上实施分解”的问题贯穿始终，无论是在学生的自主探究过程，还是在师生的共同观察、类比、发现环节，“分解”问题的解决都是至关重要的。甚至到了向量坐标表示的教学环节，依然是要将向量在与坐标轴平行的两个方向上进行分解，进而得到向量的坐标表示。这些教学设计是我这节课的一大特点，正是有了这样的设计，才使得每一个教学环节都得以顺畅的进行，同时也发展了学生的思维。

（2）在向量坐标表示的设计中，经过再三斟酌，我设计了直接给出直角坐标系，直接让学生感受向量与有序实数对的“一一对应”.这样设计似乎没有悬念，但的确正符合学生的认知规律，而且使向量坐标的引入水到渠成，这也是我设计中较为满意的一方面。

3．在学生活动上，本节课中丰富的学生活动，如动手操作、小组交流、自主探究、观察发现、抽象概括等等，都对学生的学习能力的培养起到了很好的促进作用。

4．适时适当的运用现代信息技术手段对教学进行有利的补充，从而帮助学生更加全面准确地认识问题、分析问题，这也是这节课的又一突出特点。