高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积学案

                       临清三中数学组  编写人：王晓燕  

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析

    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

二．教学目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、教学重点难点

重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。

难点：平面向量数量积的概念

四、学情分析

我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细

五、教学方法

1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：预习学案。

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

（三）合作探究，精讲点拨

探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是    量，

②F（力）是    量，

③S（位移）是   量，

④α是             。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

2、明晰数量积的定义

（1）       数量积的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos

（2）定义说明：

①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。    

② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

  期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。

（4）学生讨论，并完成下表：

例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.

解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；

若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，

∴·＝０；

③当与的夹角是60°时，有

·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9

评述：  两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.

变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。

探究二：研究数量积的意义

1.给出向量投影的概念：

如图，我们把││cos（││cos）

叫做向量在方向上（在方向上）的投影，

记做：OB1=︱││︱cos

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影

︱︱cos 的乘积。

     3. 研究数量积的物理意义

   请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

探究三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：

比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律

  （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

预测：学生可能会提出以下猜想：

①     ·= ·    

②     （·）= (·) 

③（ + ）· =· + ·

 （2）、分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的。

关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？

期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。

    （3）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.

                         =36-3×4×6×0.5-6×4×4

                          = -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(+)2=2+2·+2       

（2）(+ )·(-)= 2—2

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（五）发导学案、布置预习。

我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计

十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和

几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

                      临清三中数学组  编写人：王晓燕   审稿人：刘桂江 李怀奎

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

课前预习学案

一、预习目标：

预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；

二、预习内容：

1.平面向量数量积（内积）的定义：                                         

2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3．“投影”的概念：作图

4.向量的数量积的几何意义：                                                     

5．两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.

1  e= e =        

2   =       

设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.

e =e =                

3  当与同向时，=       当与反向时， =           特别的= ||2或

4  cos =               

5  || ≤ ||||

三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

1说出平面向量的数量积及其几何意义；

2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义

二、学习过程

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

探究一：

数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W=  

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是    量，

②F（力）是    量，

③S（位移）是   量，

④α是             。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

2、明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos

（2）定义说明：

①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。    

② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（4）学生讨论，并完成下表：

例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.

解：

变式：

.    对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.

探究二：研究数量积的意义

1.给出向量投影的概念：

如图，我们把││cos（││cos）

叫做向量在方向上（在方向上）的投影，

记做：OB1=︱││︱cos

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

     3. 研究数量积的物理意义

   请同学们用一句话来概括功的数学本质：

探究三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律

  （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？

    （2）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：

变式：（1）(+)2=2+2·+2       

（2）(+ )·(-)= 2—2

（三）反思总结

(四)当堂检测

1 .已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o，求·.

2. 已知||=6， ||=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)

.

3 .已知||=3， ||=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.

5.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.

6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.

课后练习与提高

1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（    ）

A.60°         B.30°          C.135°         D.４５°

2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（   ）

A.2            B.2          C.6            D.12

3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（    ）

A.充分但不必要条件               B.必要但不充分条件

C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件

4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|·|-|=            .

5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·=           .

6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.