高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积课堂教学课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积课堂教学课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了两个向量的夹角，a⊥b，a·b，acosθ，bcosθ，b·a，a·λb，a·c＋b·c，a·b＝0，a＝λb等内容，欢迎下载使用。

2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个____向量a和b，它们的夹角为θ，把数量_________叫做a和b的数量积(或内积)，记作___，即a·b＝________，规定0·a＝0.(2)向量投影：①定义：设θ为a与b的夹角，则_______(|b|cs θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_______的乘积．
3．向量数量积的运算律(1)a·b＝___；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_______；(3)(a＋b)·c＝_________.注意：(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
A．60°　　　B．30°　　　C．90°　　D．120°解析：注意向量的方向，画图易得夹角为120°.答案：D
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为(　　)
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·( b·c)＝________，(a·b)·c＝________.解析：a·(b·c)＝a·(4×2＋6×3)＝26a＝26(1，－3)＝(26，－78)，(a·b)·c＝(1×4－3×6)·(2,3)＝(－14)×(2,3)＝ (－28，－42)．答案：(26，－78)　(－28，－42)4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝_______.
1．因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来．以下三点要特别注意：(1)当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都满足a·b＝0.(2)由a·b＝b·c不能推出a＝c，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式，而a＝c是一个向量等式，所以两者不等价．
(3)结合律对数量积不成立，即(a·b)c≠a(b·c)．2．利用a⊥b⇔a·b＝0(向量式)和a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(坐标式)来证明两条直线垂直，使判断直线垂直又多了一种简便的方法．要注意将x1x2＋y1y2＝0和判断平行的x1y2－x2y1＝0区别开，不要混淆．记忆的方法是参照两条直线平行与垂直的条件．已知直线l1的方程为A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2的方程为A2x＋B2y＋C2＝0，若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0；若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.
考点一　平面向量的数量积及运算律【案例1】　设a、b、c是任意的非零向量，且互不共线．已知下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有 (　　)A．①② B．②③ C．③④ D．②④关键提示：②用三角形的性质求解；③研究[(b·c)·a－(c·a)·b]·c的值．
(即时巩固详解为教师用书独有)
解析：对于①，只有b和c方向相同时，两者才可能相等，所以①错．考虑②式对应的几何意义，由“三角形两边之差小于第三边”知②正确．因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，所以垂直，即③错．对于④，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以④对．答案：D
【案例2】　已知点A(－1,2)、B(3,1)、C(2，－3)，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．关键提示：要判断△ABC的形状，主要看边长是否相等，角是否为直角，可先作出草图，进行直观判断，再去证明．解：△ABC为等腰直角三角形．证明如下：
A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形
考点二　向量数量积的相关运算及夹角问题【案例3】　(2010·湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 (　　)A．30° B．60° C．120° D．150°关键提示：把a·b＝|a|·|b|·cs θ代入(2a＋b)·b＝0中得到关于cs θ的方程，求解即可．解析：因为(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，所以2|a|·|b|cs θ＋b2＝0，又因为|a|＝|b|，
所以θ＝120°.故选C.答案：C点评：这里由2a·b＝b2不能推出2a＝b.同样由a2＝b2也不能得出a＝b或a＝－b.
【即时巩固3】　(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由α⊥(α－2β)可得，α·(α－2β)＝0，α2－2α·β＝0.又因为|α|＝1，|β|＝2，
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4关键提示：建立直角坐标系，利用坐标运算求解．点评：图形中的数量积计算，常建立坐标系用坐标来运算，不好建立坐标系时，用基底思想来解题，选取基底时常选已知长度和夹角的两个向量作为基底．
考点三　向量数量积与其他知识的综合应用【案例5】　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c.设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
关键提示：利用数量积的坐标运算及性质求解，注意正、余弦定理的运用．
(2)解：由题意知，m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)．
点评：利用向量数量积的定义，结合三角函数知识是解决这类问题的常用方法．
(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．