数学2.4 平面向量的数量积复习练习题

平面向量的数量积

编稿：丁会敏    审稿：王静伟    

【学习目标】

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

【要点梳理】

要点一： 平面向量的数量积

1. 平面向量数量积(内积)的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.

2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.

要点诠释：

1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.

2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.

要点二：平面向量数量积的几何意义

数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 

事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当当时，由于，所以．

要点三：平面向量数量积的性质

设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.

1.

2.

3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或

4.

5.

要点四：向量数量积的运算律

1.交换律：

2.数乘结合律：

3.分配律：

要点诠释：

1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；

2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是

显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.

要点五：向量数量积的坐标表示

1.已知两个非零向量，，

2.设，则或

3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).

要点六：向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件

(3)求夹角问题．

由向量，数量积可知，若它们的夹角为，则，

利用

(4)求线段的长度，可以利用或

【典型例题】

类型一：平面向量数量积的概念

例1．已知、、是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（    ）

①·=±||·||∥；②、反向·=－||·||；③⊥|+|=|－|；④||=|||·|=|·|．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【答案】C

【解析】（1）∵·=|| |b|cos，∴由·=±|| ||及、为非零向量可得cos=±1，∴=0或π，∴∥，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．

（2）若、反向，则、的夹角为π，∴·=|| ||cosπ=―|| ||且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．

（3）当⊥时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|+|=|―|．反过来，若|+|=|―|，则以、为邻边的四边形为矩形，∴⊥，故叙述③是正确的．

（4）当||=||，但与的夹角和与的夹角不等时，就有|·|≠|·|，反过来的由|·|=|·|也推不出||=||．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．

【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．

举一反三：

【变式1】如果·=·，且≠0，那么（    ）

A．=    B．=    C．⊥    D．、在方向上的投影相等

【答案】D

类型二：平面向量数量积的运算

例2．已知||=4，||=5，当（1）∥，（2）⊥，（3）与的夹角为30°时，分别求与的数量积．

【思路点拨】  已知向量||与||，求·，只需确定其夹角．

【解析】

（1）当∥时，有=0°和=180°两种可能．

若与同向，则=0°，·=|| |b|cos0°=4×5×1=20；

若与反向，则=180°，·=|| ||cos180°=4×5×(―1)=―20．

（2）当⊥时，=90°，·=|| ||cos90°=0．

（3）当与的夹角为30°时，·=|| ||cos30°=4×5×．

【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，与之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．

（2）求平面向量数量积的步骤是：①求与的夹角，∈[0°，180°]．②分别求||和||．③求它们的数量积，即·=|| ||·cos．

    举一反三：

【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.

【答案】35

【解析】

（+）·==35

例3．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影；

（2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明．

【答案】（1）（2）略

【解析】  （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4，

∴4||cos=6，∴．

（2）在方向上的投影为||·cos．

如上图所示，当=60°时，在方向上的正投影的数量为||·cos60°=3；

当=90°时，在方向上的投影的数量为||·cos90°=0；

当=120°时，在方向上的正投影的数量为||·cos120°=－3．

【总结升华】 要注意在方向上的投影与在方向上的投影不是不同的．

类型三：平面向量模的问题

例4．已知||=||=4，向量与的夹角为，求|+|，|―|．

【解析】因为2=||2=16，2=||2=16，

，

所以．

同事可求．

【总结升华】关系式2=||2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并将此式展开．由已知||=||=4，得·=·=16，·也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值．

举一反三：

【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】

【变式1】已知，求．

【答案】

【解析】

，

同理，

【变式2】已知向量满足，且的夹角为60°，求.

【答案】 

【解析】 ，且的夹角为60°  

；

【总结升华】要根据实际问题选取恰当的公式．

类型四：向量垂直（或夹角）问题

 例5．已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.

【思路点拨】利用求出两个向量的夹角．

【解析】法一：将两边平方得

，

则， 故的夹角为30°.

法二： 数形结合法

如图，构成一个等边三角形，向量

是向量与向量夹角的角平分线，所以向量与向量

所成的夹角为30°．

【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.

  举一反三：

【变式1】已知向量,满足（―）(2+)= ―4,且||=2，| |=4，求〈,〉．

【答案】120°

【解析】

原式=，

=

〈,〉=120°

例6．已知、都是非零向量，且+3与7―5垂直，―4与7―2垂直．求与的夹角．

【思路点拨】由题意知，， =0，解得||=||．

【解析】∵+3与7―5垂直，

∴(+3)·(7－5)=0．

∵―4与7―2垂直，

∴(―4)·(7―2)=0．

于是有

由①－②得  2·=2．    ③

将③代入①得  2=2，

∴||=||．

∴．

∵0°≤≤180°，∴=60°．

【总结升华】 正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2·=2，不能得出2=，同样由2=2，也不能得出=或=－．

举一反三：

【变式1】已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向+与向量k－垂直，则k=________．

【答案】

【变式2】设非零向量，满足，求证：

【证明】

类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算

例7．已知向量与同向，=（1，2），·=10．

    （1）求向量的坐标；

（2）若=（2，－1）．求（·）·．

【解析】  （1）∵与同向，又=（1，2），

∴设=，则=（，2）．

又∵·=10，∴1·+2·2=10，解得=2＞0．

∵=2符合与同向的条件，∴=（2，4）．

（2）∵·=1×2+2×(－1)=0，∴（·）·=0．

【总结升华】（1）注意本题由与共线且同向的设法及验证；

（2）通过本题可以看出（·）·=0，（·）·=10×（2，―1）=（20，―10），显然（·）·≠（·）·，即向量运算结合律一般不成立．

举一反三：

【变式1】已知向量和，若·=·，试求模为的向量的坐标．

【解析】 设=（x，y），则，，

由·=·及，得，解得  或  ．

所以或．

【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．

例8．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（―1，4）．

（1）求证：AB⊥AD；

（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明．（2）利用向量相等求出C点的坐标，利用求出两条对角线的夹角．

【答案】（1）略（2）

【解析】（1）∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），

∴，．

又∵，

∴，即AB⊥AD．

（2）∵，四边形ABCD为矩形，∴．

设C点坐标为（x，y），

则由，，

得，即．∴C点坐标为（0，5）．

从而，，且，．

，

设与的夹角为，则，

∴求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为．

【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向．本题若利用，求出cos＜0不符合要求，当遇到这种情况时，要根据三角公式进行变换．

举一反三：

【变式1】已知=（1，1），=（0，―2）当k为何值时，

（1）k―与+共线；

（2）k―与+的夹角为120°．

    【解析】∵=（1，1），=（0，―2），k―=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）．

+=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．

（1）∵k－与+共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．

（2）∵，，

(k―)·(+)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k―与+的夹角为120°，

∴，

即．

化简，整理得k2+2k―2=0，解之得．