高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计

第十二教时

教材：平面向量的数量积的运算律

目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

过程：

一、        复习：

1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质

2．判断下列各题正确与否：

   1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。                ( √ )

   2若a  0，则对任一非零向量b，有ab  0。            ( × )

   3若a  0，ab = 0，则b = 0。                         ( ×)

   4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零。                ( × )

   5若a  0，ab = ac，则b = c。                        ( × )

   6若ab = ac，则b = c当且仅当a  0时成立。          ( × )

   7对任意向量a、b、c，有(ab)c  a(bc)。              ( × )

   8对任意向量a，有a2 = |a|2。                          ( √ )

二、         平面向量的运算律

1．    交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos

    ∴a  b = b  a

2．    (a)b =(ab) = a(b)

证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，

            (ab) =|a||b|cos，

            a(b) =|a||b|cos，

    若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，

            (ab) =|a||b|cos，

            a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos。

3．    (a + b)c = ac + bc

4．             在平面内取一点O，作= a, = b，= c，

         ∵a + b （即）在c方向上的投影

           等于a、b在c方向上的投影和，

           即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

         ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2

         ∴c(a + b) = ca + cb     即：(a + b)c = ac + bc

5．    例题：P118—119   例二、例三、例四   （从略）

例一、            应用例题：（《教学与测试》第27课P156  例二、例三）

例二、            已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，

      a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

      解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①

            (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②

          两式相减：2ab = b2

          代入①或②得：a2 = b2

          设a、b的夹角为，则cos =   ∴ = 60

例三、            求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

例四、             

  解：如图：   ABCD中：，，=

      ∴||2=

      而=  

      ∴||2=

      ∴||2 + ||2 = 2=

三、        小结：运算律

四、        作业： P119   习题5.6    7、8 

             《教学与测试》P152  练习