高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计

第十三教时

教材：平面向量的数量积的坐标表示

目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：

一、    复习：

1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示

2．平面向量数量积的运算

3．两平面向量垂直的充要条件

4．两向量共线的坐标表示：

二、     课题：平面两向量数量积的坐标表示

1．  设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

   则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0

2．  推导坐标公式：

   ∵a = x1i + y1j,  b = x2i + y2j

   ∴ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2

        = x1x2 + y1y2

从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2

例一、     设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求ab

  解：ab = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2

3．  长度、角度、垂直的坐标表示

   1a = (x, y)    |a|2 = x2 + y2     |a| =

         2若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=

         3 cos =

         4∵ab  ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

4．  例二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。

     证：∵=(21, 32) = (1, 1),  = (21, 52) = (3, 3)

         ∴=1×(3) + 1×3 = 0   ∴

         ∴△ABC是直角三角形

  三、补充例题：处理《教学与测试》P153  第73课

例三、已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x。

      解：设x = (t, s)，

          由xa = 9  3t  s = 9       t = 2

          由xa = 9  3t  s = 9       s = 3

          ∴x = (2, 3)

例四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，

      求点B和向量的坐标。

      解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x5, y2)

          ∵   ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0

         又∵|| = ||   ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29

         由

         ∴B点坐标或；=或

例五、在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

      求k值。

  解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0  ∴k = 

      当B = 90时，= 0，== (12, k3) = (1, k3)

                   ∴2×(1) +3×(k3) = 0   ∴k = 

      当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0   ∴k =

四、小结：两向量数量积的坐标表示

          长度、夹角、垂直的坐标表示

五、    作业： P121  练习及习题5.7 

             《教学与测试》P154   5、6、7、8，思考题