高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积复习ppt课件

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积复习ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了bcosθ，acosθ，a·b0，-ab，b·a，a·b，a·c+b·c，x1x2+y1y2，x2+y2，思维启迪等内容，欢迎下载使用。
2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质 （1）e·a=a·e= ； （2）非零向量a，b，a⊥b ； （3）当a与b同向时，a·b= ； 当a与b反向时，a·b= , a·a= ，|a|= ; （4）cs θ= ； （5）|a·b| |a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律 （1）a·b= （交换律）； （2）（ a）·b= = （ 为实数）； （3）（a+b）·c= .
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b= ，由此得到 （1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b .
x1x2+y1y2=0
基础自测1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为θ，|a|cs θ=|a|
2.若|a|=2cs 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于（） A. B. C. D. 解析
3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于（） A.（26，-78）B.（-28，-42） C.-52D.-78 解析 a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78).
4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（） A.1B.2C.3D.4 解析 由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.
5.（2009·江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k= . 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b，b=(1,3), ∴(3-k)×1-3=0,∴k=0.
题型一 平面向量的数量积【例1】已知向量a=(cs x,sin x), b=(cs ,-sin )，且x∈[ ]. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围.
∴|a+b|=2cs x.
(2)由(1)可得f(x)=cs 2x-2cs x=2cs2x-2cs x-1=2(cs x- )2- .∵x∈[ ] ，∴ ≤cs x≤1，∴当cs x= 时，f(x)取得最小值为- ；当cs x=1时，f(x)取得最大值为-1.
探究提高 （1）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识. （2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角 为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|， 然后再求数量积即a·b=|a||b|csθ，若知道向量 的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
知能迁移1 （1）已知O是△ABC内部一点， =0， 且∠BAC=30°，则△AOB的面积为（） A.2B.1C. D. 解析 由 =0得O为△ABC的重心. ∴S△AOB= S△ABC. 又 cs 30°=2 ， 得 =4. ∴S△ABC= sin 30°=1.∴S△AOB= .
（2）（2009·重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是（） A. B. C. D. 解析 ∵a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3 ∴cs〈a，b〉= ∴a与b的夹角为 .
题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(cs(-θ),sin(-θ)),b= （1）求证：a⊥b； （2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b, y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时 的最小值. （1）可通过求a·b=0证明a⊥b. （2）由x⊥y得x·y=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于 t的函数，从而求出最小值.
(1)证明 ∵a·b=cs(-θ)·cs( -θ)+sin(-θ)·sin( -θ)=sin θcs θ-sin θ csθ=0.∴a⊥b.（2）解 由x⊥y得x·y=0,即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，∴-ka2+（t3+3t）b2+［t-k（t 2+3）］a·b=0，∴-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.又|a|2=1，|b|2=1，∴-k+t3+3t=0，∴k=t3+3t.∴故当t= 时， 有最小值 .
探究提高 （1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零. （2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.
知能迁移2 已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1). (1)证明：a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b, y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数. (1)证明 a·b= ·( ,-1) ∴a⊥b.
(2)解 ∵x⊥y,∴x·y=0,即［a+(t2-2)b］·（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a·b+t2(t2-2)b2=0,∵a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,∴-k+4t2（t2-2）=0,∴k=f(t)=4t2 (t2-2).
题型三 向量的夹角及向量模的问题【例3】 （12分）已知|a|=1，a·b= ，（a- b）·（a+b）= ， 求：（1）a与b的夹角； （2）a-b与a+b的夹角的余弦值. 解 （1）∵（a-b）·（a+b）= ， ∴|a|2-|b|2= ， 又∵|a|=1，∴|b|= 3分 设a与b的夹角为θ， 则cs θ= ∵ 0°≤θ ≤ 180°,∴θ=45°. 6分
（2）∵（a-b）2=a2-2a·b+b2 ∴|a-b|=8分（a+b）2=a2+2a·b+b2=1+2×∴|a+b|= ,设a-b与a+b的夹角为 ，10分则cs =12分
探究提高 （1）求向量的夹角利用公式cs〈a，b〉= .需分别求向量的数量积和向量的模.（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法. ①|a|2=a2=a·a;②|a±b|2=a2±2a·b+b2; ③若a=(x,y)，则|a|= .
知能迁移3 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|; (2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？ 解 由已知，a·b=4×8×(- )=-16. （1）①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 .
②|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,∴|4a-2b|=16 .（2）若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+（2k-1）a·b-2b2=0.16k-16（2k-1）-2×64=0，∴k=-7.
方法与技巧1.数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用“×”来替代.2.要熟练类似（ a+μb)·(sa+tb)= sa2+( t+μs)a·b+μtb2的运算律（ 、μ、s、t∈R）.3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0a⊥b.3.a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.即消去律不成立.4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈 〉应为120°,而不是60°.
一、选择题1.（2009·宁夏文，7）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量 a+b与a-2b垂直，则实数 的值为（） A. B. C. D. 解析 ∵a=(-3,2),b=(-1,0), ∴ a+b=(-3 -1,2 ), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（ a+b）⊥(a-2b),知4 +3 +1=0.∴ =-
2.已知向量a,b的夹角为120°，|a|=1，|b|=5，则 |3a-b|等于（）A.7B.6C.5D.4
3.设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a|·|b|·sin θ,若a=(- , -1),b=(1, )，则|a×b|等于（） A.B.2C.2D.4 解析 ∵|a|=|b|=2，a·b=-2 ， ∴cs θ= 又θ∈［0，π］，∴sin θ= ∴|a×b|=2×2× =2.
4.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且a⊥b，又知 （2a+3b）⊥(ka-4b)，则实数k的值为（） A.-6B.-3C.3D.6 解析 由（2a+3b）·（ka-4b）=0，得2k-12=0, ∴k=6.
5.（2009·全国Ⅰ文，8）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=（） A.150°B.120°C.60°D.30° 解析 ∵a+b=c,∴|c|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2. 又|a|=|b|=|c|,∴2a·b=-b2, 即2|a||b|cs〈a,b〉=-|b|2. ∴cs〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉=120°.
6.在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cs B= ，则 等于（） A. B. C.3 D.-3 解析 由已知b2=ac，a+c=3，cs B= ， 得 ，得ac=2. 则 =ac·cs〈 〉=2×
二、填空题7.（2009·江苏，2）已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|= ，则向量a和向量b的数量积a·b= . 解析 由题意知a·b=|a||b|cs 30°=2× =3.
8.设向量a,b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为 ，则|b|= . 解析 由已知得 即 ∴a·b=2. 又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2a·b， ∴|b|2=4,∴|b|=2.
9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，则 的取值范围是 . 解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式= ，当x=0时，原式=0， 当x≠0时，原式=
当x＞0时，0＜ ≤ 当x＜0时，0＞ ≥ 综上所述，取值范围为 答案
三、解答题10.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sinθ，csθ）. （1）若| |=| |，求tanθ的值； （2）若（ ）· =1，其中O为坐标原点，求sin 2θ的值. 解 (1)∵A(1,0),B（0,1）,C（2sinθ,csθ）， ∴ =(2sinθ-1,csθ), =(2sinθ,csθ-1). ∵| |=| |，
∴化简得2sinθ=csθ.∵csθ≠0（若csθ=0,则sinθ=±1,上式不成立）.∴tan θ= .（2）∵ =（1，0）， =（0，1）， =（2sinθ，csθ），∴ =（1，2）.∵（ ）· =1，∴2sin θ+2cs θ=1.∴sin θ+cs θ= .∴（sin θ+cs θ）2= .∴sin 2θ= .
11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60°，得m·n= . 则有|a|=|2m+n|= |b|= 而a·b=（2m+n）·（2n-3m）=m·n-6m2+2n2=- 设a与b的夹角为θ， 则cs θ= 故a，b夹角为120°.
12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c，且2sin2 +cs 2C=1. （1）求角C的大小； （2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,- ），m⊥n，（m+n）·(-m+n)=-16.求a、b、c的值. 解 （1）∵2sin2 +cs 2C=1， ∴cs 2C=1-2sin2 =cs（A+B）=-cs C. ∴2cs2C+cs C-1=0.∴cs C= 或-1. ∵C∈（0，π），∴C= .