数学2.4 平面向量的数量积教学设计及反思

第十一教时

教材：平面向量的数量积及运算律

目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。

过程：

复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。

          它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。

          但这种运算与实数的运算有了很大的区别。

一、         导入新课：

1．    力做的功：W = |F||s|cos

             是F与s的夹角

2．    定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos，

         并规定0与任何向量的数量积为0。

3．    向量夹角的概念：范围0≤≤180

4．    注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

         1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

         2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

         3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。

         4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c。但是ab = bc  a = c

           如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|

                   bc = |b||c|cos = |b||OA|

                   ab=bc  但a  c

         5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

           显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。

5．    例题、P116—117  例一   （略）

二、        投影的概念及两个向量的数量积的性质：

1．“投影”的概念：作图

   定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

   注意：1投影也是一个数量，不是向量。

         2当为锐角时投影为正值；

           当为钝角时投影为负值；

           当为直角时投影为0；

           当 = 0时投影为 |b|；

           当 = 180时投影为 |b|。

2．向量的数量积的几何意义：

   数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

3．两个向量的数量积的性质：

   设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

   1ea = ae =|a|cos

   2ab  ab = 0

   3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|。

     特别的aa = |a|2或

   4cos =

   5|ab| ≤ |a||b|

三、        例题：《教学与测试》P151  第72课  例一（略）

四、        小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影

五、         作业： P119  练习 

六、                            习题5.6    1—6