数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积复习课件ppt

这是一份数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积复习课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了回归课本，考点陪练，答案D，答案A，答案B，答案-25，技法一方程思想等内容，欢迎下载使用。

1.向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b,作 则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.
(2)向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
2.向量的投影|a|csθ(|b|csθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.3.平面向量数量积的定义a·b=|a||b|csθ(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为0.
4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a•e=|a|csθ.(2)a⊥b⇔=a•b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;特别地,a·a=|a|2或|a|=(4)csθ=(5)|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律(1)a·b=b•a.(交换律)(2)(λa)·b=λ(a•b)=a•(λb).(数乘结合律)(3)(a+b)·c=a•c+b•c.(分配律)
6.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则csθ=
(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|= 这就是平面内两点间的距离公式.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥ba•b=0x1x2+y1y2=0.
1.(2010·北京)a,b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)•(xb-a)为一次函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:函数f(x)=x2a•b-(a2-b2)x-a•b,当函数f(x)是一次函数时必然要求a•b=0,即a⊥b,但当a⊥b,|a|=|b|时,函数f(x)不是一次函数,故选B.答案:B
2.(2010·重庆)已知向量a,b满足a•b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( )A.0B.C.4D.8解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|= ,选B.答案:B
类型一数量积的性质及运算解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时不能得到a=0,或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0.2.若a、b、c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量a､b､c满足a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.
(2)设a､b､c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是________.[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知②正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以④正确.所以正确命题的序号是②④.[答案]②④
类型二利用数量积解决长度、垂直问题解题准备:常用的公式与结论有:
【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算①|a+b|,②|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
[分析]利用|a|= 及a⊥b⇔a·b=0即可解决问题.[解]由已知,a·b=4×8× =-16.(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|= .②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162.∴|4a-2b|= .
(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
类型三利用数量积解决夹角问题解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.
3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.
【典例3】已知a､b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.[分析]由公式cs= 可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.
[解]解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a·b+b2,所以a·b= a2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2|a|2+2× |a|2=3|a|2,所以|a+b|= |a|.设a与a+b的夹角为θ,则csθ=由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.
[反思感悟](1)求两个向量的夹角,需求得a•b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].正确理解公式是关键.(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.
错源一利用点平移与向量平移设置陷阱【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将 按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是()A.(1,7)B.(2,-5)C.(10,4)D.(3,-3)
[错解]因为A(3,7),B(5,2),所以 =(2,-5),将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x′=2+1=3,y′=-5+2=-3,故 按向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.[剖析]平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.
[正解]因向量平移后仍与原向量相等.故 故选B.[答案]B
错源二利用平移前后的解析式设置陷阱【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为()A.y=f(x-1)+2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2
[剖析]上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.
错源三利用平移方向设置陷阱【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象,那么a=________.[错解]因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0);又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).
[剖析]上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同一方向,移动同样长度,得到图象F′.此处它只需按照同一方向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.
[正解]设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它在函数y=2x的图象上的对应点为P′(x′,y′),由平移公式 得 将它们代入y=2x-6中,得y′-k=2(x′-h)-6,即y′=2x′-2h-6+k,所以平移后函数解析式为y=2x-2h-6+k,因为y=2x-2h-6+k与y=2x为同一函数,所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量a=(h,2h+6)(h∈R).[答案](h,2h+6)(h∈R)
错源四误用实数的运算律或运算法则而致错【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.
两式相减得46a•b-23b2=0,即b•(2a-b)=0,所以b=0(舍去)或2a-b=0,由2a-b=0知a与b同向,故向量a与b的夹角为0°.
[剖析]本题误用实数的运算性质,即实数a,b若满足ab=0则必有a=0或b=0,但对于向量a,b若满足a•b=0,则不一定有a=0或b=0,因为由a•b=|a|•|b|csθ知与θ有关,当θ=90°时,a•b=0恒成立,此时a,b均可以不为0.[正解]由前知b2=2a•b,代入7a2+16a•b-15b2=0得a2=2a•b,所以a2=b2=2a•b,故csθ=则两向量的夹角θ=60°.
[评析]向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其主要表现为运算律或运算法则上的区别,因此解答向量的数量积时,不要受到实数积形成的定势思维的影响.
[答案]B [方法与技巧]本题考查的是单位向量问题,有关单位向量的求解常常根据题设构造方程组,通过解方程组求解.
技法二分类讨论思想【典例2】已知|a|=4,|b|=5,当a∥b时,求a与b的数量积.[解题切入点]已知|a|=4,|b|=5,求a•b,只需确定其夹角θ.注意到a∥b时,有θ=0°和θ=180°两种可能,故需分类讨论.
[解]因为a∥b,故当a与b同向时,θ=0°,a•b=|a|•|b|cs0°=20;当a与b反向时,θ=180°,所以a•b=|a|•|b|cs180°=-20.[方法与技巧]对问题分类讨论时,要分类完整,做到不重不漏.
技法三整体思想【典例3】若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a•b+b•c+c•a=________.[解题切入点]直接运用公式求解,需确定出a与b,b与c,a与c的夹角,这是解题的一个难点,可考虑运用变形公式整体求解.
[解析]因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a),所以a•b+b•c+c•a=-13.[答案]-13