必修42.4 平面向量的数量积课后测评

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                  6.3平面向量的数量积【考纲要求】1、平面向量的数量积　　① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.　　② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.　　③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2、向量的应用　　①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.　　②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【基础知识】1、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量与，作，则叫与的夹角。当时与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。2、平面向量的数量积（内积）（1）平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零的向量与，它们的夹角是，则数量||||叫与的数量积，记作·，即有·=||||。（2）对于不谈它与其它向量的夹角问题。（3）与的夹角，记作,确定向量与的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点。如：  但是 （4）平面向量的数量积是一个实数，可正，可负，可零，它不是一个向量。（5）在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。          （6）·的几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积。（7）向量的数量积公式变形后，得到，可以求两个向量的夹角。3、平面向量的数量积的运算律(1) · = （交换律）;(2)（）·= （·）=·= ·（）(结合律)(3)（）·= · +·.（分配律）4、平面向量数量积的坐标表示(1)设=,=，则(竖乘相加).（2）设，则 ，。（3）设=,=，则（(竖乘相加等于零).设=,=，则||（斜乘相减等于零）（4）设=,=，为向量与的夹角，则（5）设,， =。5、温馨提示  （1）数量积不满足结合律，即  （2）消去律不成立。即由不能得到  （3）由不能得到或（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立：【例题精讲】例1  已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．            解  （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，则，例2   如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。（1）      求关于θ的表达式;（2）      求的值域。解：（1）由正弦定理，得                （2）由，得      ∴，即的值域为. 6.3平面向量的数量积强化训练【基础精练】1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(　　)A．－2　　　　　　　　　 B．2C．－       D．不存在2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　　)A．a⊥b    B．a∥bC．|a|＝|b|    D．|a|≠|b|3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是(　　)A．(1，＋∞)  B．(－1,1)C．(－1，＋∞)  D．(－∞，1)4．已知△ABC中， a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于(　　) A． 30°    B．－150°C．150°    D．30°或150°5．(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于(　　)A.B.C.D.6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　　)A．－16    B．－8C．8     D．167．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．8．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．9．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.10．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．11．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．   12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．    13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时的最小值．  【拓展提高】1.已知,,,。   （1）求；   （2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx   2.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．        3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若|A|＋|A|＝|B|，试判断△ABC的形状．    【基础精练参考答案】 1.A【解析】由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.2.A【解析】f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A. 3.C【解析】∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝a，又∵|a|＝＝，∴a·b＝·|a|2＝×2＝λ－1>－1，∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.4.C【解析】∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又a·b<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°. 5.C【解析】cos〈a，b〉＝，sin∠AOB＝＝，所以S△OAB＝|a||b|sin∠AOB＝.6.D【解析】：解法一：因为cosA＝，故cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为||cosA＝||，故cosA＝AC2＝16，故选D.7.1【解析】：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.8. 解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.9.2【解析】：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.10.-2【解析】：令||＝x且0≤x≤2，则||＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴的最小值为－2.11.【解析】：由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos45°＝×1×＝1.而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴解得k2＝－.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12.【解析】(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则·cosα＋·sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13.【解析】(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos＋sin(－θ)·sin＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴＝＝t2＋t＋3＝2＋.故当t＝－时，有最小值.【拓展提高参考答案】2.【解析】　(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absin C＝×4×sin ＝. 3.【解析】　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝.(2)∵|A|＋|A|＝|B|，∴b＋c＝a，∴sin B＋sin C＝sin A，∴sin B＋sin＝×，即sin B＋cos B＝，∴sin＝.∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴B＋＝或，故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.故△ABC是直角三角形．