高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积学案

第3课时    平面向量的数量积

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的        ．当θ＝0°时，与        ；当θ＝180°时，与        ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作         ．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量          叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝         ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝         ．

3．向量的数量积的几何意义：

||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．

·的几何意义是，数量·等于                                 ．

4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．

⑴ ·＝·＝       

⑵ ⊥       

⑶ 当与同向时，·＝        ；当与反向时，·＝        ．

⑷ cosθ＝        ．

⑸ |·|≤       

5．向量数量积的运算律：

⑴ ·＝        ；

⑵ (λ)·＝        ＝·(λ)

⑶ (＋)·＝       

例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．

解:(2＋3)(3－2)＝－4

变式训练1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．

解:

例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．

(1) 若a⊥b，求；

(2) 求|＋|的最大值．

解：(1)若，则

即  而，所以

(2)

当时，的最大值为

变式训练2：已知，，其中．
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．

证明：

       与互相垂直

（2）,

,

,,

而

，

例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．

解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.

变式训练3：若，则△ABC的形状是                     .    

解: 直角三角形.提示：

例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ)  θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.

解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝

化简：cos

又cos2

∵θ∈(π, 2π)  ∴cos<0

∴cos＝－

变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.

解：由得

1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．

2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝．

3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．