高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例导学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例导学案，共6页。
§2.5.1  平面几何中的向量方法学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．⒉培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．⒊体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．教学重点：平面几何中的向量方法．教学难点：平面几何中的向量方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：　　（Ⅰ）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到， ，我们计算和．证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．∴  ( a+b)·( a+b)          = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2．             ①同理　　　|a|2-2a·b+|b|2．                            ②①+②得   2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设a，b，则a+b．　　∵　与共线　　∴　存在实数m，使得  =m(a+b)．又　∵　与共线　　∴　存在实数n，使得  =n= n(b- a)．　　由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)．整理得　　　　　　a＋b＝0．由于向量a、b不共线，所以有　，解得．所以　　　　　　　　　　　．同理　　　　　　　　　　　．于是　　　　　　　　　　　．所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法．例3已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF交于一点．分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A、B、C三点的坐标分别为，，，且BE、CF交于点，则，，，．∵　，，∴　，解得　．所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点．（Ⅲ）课后练习：课本练习　习题2.5　B组  ⒊（Ⅳ）课时小结:几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果．如果把代数方法简单地表述为［形到数］——［数的运算］——［数到形］，则向量方法可以简单的表述为［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］．（Ⅴ）课后作业：⒈课本练习　习题2.5　A组  ⒈⒉⒉预习课本～，思考下列问题：⑴怎样把物理问题转化为数学问题？⑵如何用数学模型来解释相应的物理现象？板书设计：§2.5.1  平面几何中的向量方法例⒈　　   用向量法解平面几何        例2   小结           问题的“三步曲”                 预习提纲教学后记:   §2.5.2  向量在物理中的应用举例学习目标：⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．⒉培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．教学重点：向量在物理中的应用．教学难点：向量在物理中的应用．教学方法：讨论式．教具准备：用《几何画板》演示例3、例4．教学过程：　　（Ⅰ）新课引入：师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=．通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．（用《几何画板》演示）师：请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题：⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？生：当时，|F1|最小，最小值是|G|，当时，|F1|=|G|．例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=(km/h)，所以，  (min)．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．（Ⅲ）课后练习：课本练习　习题2.5　B组  ⒈⒉（Ⅳ）课时小结:⑴用向量知识解决物理问题的一般思路是：物理问题数学问题向量运算物理问题的结论．⑵力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来．（Ⅴ）课后作业：课本练习　习题2.5　A组  ⒊⒋板书设计：§2.5.2  向量在物理中的应用举例例3　　    例4        练习      小结                                 预习提纲教学后记: