数学2.5 平面向量应用举例达标测试

【巩固练习】

1．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（    ）

A．―2    B．    C．―1    D．

2．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知两力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（    ）

A．N    B．5 N    C．10 N    D．N

4．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（   ）

A．北偏西，20km/h          B．北偏西，20km/h  

C．北偏东，20km/h          D．北偏东，20km/h

5．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（    ）

A．正方形       B．矩形        C． 菱形       D．等腰梯形

6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为              (    )

A.(-2，4)   B.(-30，25)  C.(10，-5)   D.(5，-10)

7．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形    B．等腰三角形

C．等腰直角三角形   D．等边三角形

8．用力F推动一物体，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体所做的功为（    ）

A．F·s·cos    B．F·s·sin    C．|F|·|s|·cos    D．|F|·|s|·sin

9.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.

10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：

    ①；②；

③；④

其中正确的序号是________．（写出所有正确的序号）

11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h．

12．夹角为的两个力和作用于同一点，且，则和的合力的大小为            

          ，与的夹角为           ．

13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）．试求：

（1）力F1，F2分别对质点所做的功；

（2）F1，F2的合力对质点所做的功．

14．在中，，且，是的中点，E是AB上一点，且AE=2EB.

求证：AD⊥CE

15．所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF．

【答案与解析】

1．【答案】D

【解析】  ∵·=0，且，，均为单位向量，

∴，||=1．

∴(―)·(―)=·―(+)·+2．

设+与的夹角为，

则．

故(―)·(―)的最小值为．

2．【答案】A

【解析】 由，AM=1知，，，，所以

．故选A．

3．【答案】B 

【解析】由题作出示意图，如下图，有．

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】C 

【解析】5秒后点P的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10，-5)

7．【答案】B

8．【答案】D 

【解析】F与水平方向的夹角为，故F对物体所做的功为．

9. 【答案】x+2y-4=0

【解析】∴(1，2)·(x，y)=4，∴x+2y-4=0.

10．【答案】①②④

【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；

对于③，；

对于④，且，设，，

．即，．

11．【答案】

【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴

12．【答案】 

13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3．

    （2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102．

14．法一：

证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，

        =

        =

所以

法二：以点C为原点，CA，CB所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，

则

可得出

所以

15．【证明】建立如题图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，

    则A（0，1），，，，

∴，，

∴，

，

∴，∴PA=EF．