高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换课后复习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换课后复习题，共5页。试卷主要包含了求值问题，三角函数式的化简，三角恒等变换的综合应用等内容，欢迎下载使用。

一、求值问题
活动与探究1
已知sin α＝－eq \f(8,17)且π＜α＜eq \f(3,2)π，求sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)，taneq \f(α,2)的值．
迁移与应用
若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin 2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sin θ＝( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5) C．eq \f(\r(7),4) D．eq \f(3,4)
1．解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式或变换所求式．
2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
二、三角函数式的化简
活动与探究2
已知π＜α＜eq \f(3π,2)，化简：
eq \f(1＋sin α,\r(1＋cs α)－\r(1－cs α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α))．
迁移与应用
化简eq \f(sin 4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))得( )
A．sin 2α B．cs 2α C． sin α D．cs α
(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；
②降幂或升幂．
三、三角恒等变换的综合应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－eq \f(1,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝eq \f(3\r(2),10)，求sin 2α的值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等．解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．
当堂检测
1．已知cs θ＝－eq \f(1,5)，eq \f(5π,2)＜θ＜3π，那么sin eq \f(θ,2)＝( )
A．eq \f(\r(10),5) B．－eq \f(\r(10),5) C．eq \f(\r(15),5) D．－eq \f(\r(15),5)
2．设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)＝( )
A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,3) C．－eq \f(2,3) D．4
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs α＝－eq \f(3,5)，则taneq \f(α,2)等于( )
A．2 B．－2 C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
4．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A等于________．
5．化简：sin22x＋2cs2xcs 2x＝________．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．eq \f(1－cs α,2) ±eq \r(\f(1－cs α,2)) eq \f(1＋cs α,2) ±eq \r(\f(1＋cs α,2)) eq \f(1－cs α,1＋cs α) ±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
预习交流1 提示：符号由eq \f(α,2)所在象限决定．
2．eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α·\f(a,\r(a2＋b2))＋cs α·\f(b,\r(a2＋b2)))) sin(α＋φ) eq \f(a,\r(a2＋b2)) eq \f(b,\r(a2＋b2))
预习交流2 提示：可以由sin φ和cs φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cs φ的值确定角φ的大小．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角eq \f(α,2)成二倍关系，解答本题可根据半角公式求值．
解：∵sin α＝－eq \f(8,17)，π＜α＜eq \f(3,2)π，∴cs α＝－eq \f(15,17)．
又eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3,4)π，
∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \r(\f(1＋\f(15,17),2))＝eq \f(4\r(17),17)，
cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \r(\f(1－\f(15,17),2))＝－eq \f(\r(17),17)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－4．
迁移与应用 D 解析：由θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs 2θ＝－eq \r(1－sin22θ)＝－eq \f(1,8)，∴sin θ＝eq \r(\f(1－cs 2θ,2))＝eq \f(3,4)．
活动与探究2 思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据eq \f(α,2)的范围开方化简．
解：原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))，
∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，
∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0．
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))
＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))
＝－eq \r(2)cseq \f(α,2)．
迁移与应用 A 解析：4sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝4cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs 2α，
原式＝eq \f(sin 4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(sin 4α,2cs 2α)＝eq \f(2sin 2αcs 2α,2cs 2α)＝sin 2α．
活动与探究3 思路分析：(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解：(1)由已知f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－eq \f(1,2)
＝eq \f(1,2)(1＋cs x)－eq \f(1,2)sin x－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))．
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))．
(2)由(1)知，f(x)＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(2),10)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)．
∴cs α－sin α＝eq \f(3\r(2),5)，平方得1－sin 2α＝eq \f(18,25)．
∴sin 2α＝eq \f(7,25)．
迁移与应用 解：(1)因为f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－1
＝4cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))－1
＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x－1
＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
所以f(x)的最小正周期为π．
(2)因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)．
于是，当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2；
当2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6)，即x＝－eq \f(π,6)时，f(x)取得最小值－1．
【当堂检测】
1．D 解析：∵eq \f(5π,2)＜θ＜3π，∴eq \f(5π,4)＜eq \f(θ,2)＜eq \f(3π,2)．
∴sin eq \f(θ,2)＜0．
由cs θ＝1－2sin2eq \f(θ,2)，得
sin eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,2))
＝－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))×\f(1,2))＝－eq \f(\r(15),5)．
2．B 解析：由f(tan x)＝tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)，知f(x)＝eq \f(2x,1－x2)，
∴f(2)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3)．
3．A 解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(2\r(5),5)，
cseq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2))＝eq \f(\r(5),5)．
∴taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝2．
4．－eq \f(1,9) 解析：在△ABC中，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2)，sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＋cs 2A＝cs2eq \f(A,2)＋cs 2A＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1＝－eq \f(1,9)．
5．2cs2x 解析：原式＝4sin2xcs2x＋2cs2xcs 2x＝2cs2x(2sin2x＋cs 2x)＝2cs2x(2sin2x＋1－2sin2x)＝2cs2x．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。