数学必修43.2 简单的三角恒等变换导学案

【学习目标】1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，学会对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高自己的推理能力．

【学习重点】以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

【学习难点】认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

【自主学习】(一)课前回顾

①三角函数的和角公式：sin(α+β)=                  Cos(α+β) =                

tan(α+β)=            

②三角函数的差角公式：sin(α-β)=                  Cos(α-β) =                

tan(α-β)=            

 ③三角函数的倍角公式：sin2=                  Cos2 =                

tan2=            

（二）新课引入

      三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.本节课我们来探讨一下简单的三角恒等变换。

（三）新课讲授【自主质疑和合作探究】

 【目标一】降次公式与半角公式的得出，体现三角变换的灵活性。

1、思考：有什么样的关系？

2、试一试：以表示 。

自我总结：通过变换发现两组公式（不要求记忆）：

A：降次公式：         

B，半角公式：自己完成如下：

C，自我应用：已知，且在第三象限，求的值

探究1 ：公式成立的条件是什么？半角公式前的符号怎么确定？

探究2：代数式变换与三角变换有什么不同？

【目标二】积化和差与和差化积公式（不要求记忆），体会三角变换的特点和方程思想。

1、自己试一试：求证：（提示：先观察两边的结构及角的特点）

（１）、；

（２）、

探究1（2）的证明还有其他方法吗？

探究2在以上证明中用到哪些数学思想？

探究3（１）式是积化和差的形式（２）式是和差化积的形式，你还能得出类似的公式吗？

2、自我总结一下：（1）积化和差公式：

（2）和差化积公式：

（3）数学思想方法：

【目标三】函数y=asinx+bcosx的变形与应用，学会把此类形式化为一个角的一个三角函数从而解决求一类三角函数的周期、最值、单调性等问题。

1、 试一试：求函数周期、最大值和最小值。

2、 探究1：能否把asinx+bcosx化为一个角的一个三角函数的形式？

3、 探究2：得到公式如下：

asinx+bcosx=（sinxcosφ+cosxsinφ）=sin（x+φ）

这个公式中的φ角怎么确定？说说你的看法？

4，变式训练：1)、把下列各式化为一个角的一个三角函数：（1）sinx+cosx 

(2)

2),

3),已知函数

求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合

【目标四】建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题，培养、观察、分析、解决问题的能力。

1、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

2、探究：结合本题，你能指出建立函数模型解决实际问题的步吗？

4、  变式训练1：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）

5、 变式训练2：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．

【课堂练习】第142页练习1，2，3，4

【知识梳理】

1、要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用；

２、学会三角变形技巧和代数变形技巧，常见的三角变形技巧有

①切化弦； ②“1”的变用；③统一角度，统一函数，统一形式等等；

３、建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.

【总结反思】

【巩固拓展训练】1. 下列等式成立的是（   ）

2．函数是（   ）

A．周期为的奇函数        B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数        D．周期为的偶函数

3. 某物体受到恒力是，产生的位移为，则恒力物体所做的最大功是（   ）

 A．         B.            C.         D.

4. 若-2π<<-，则等于(   )

　　A．sin　　　　　　　B．cos            C．-sin　　　　　　　D．-cos

5. = (   )

A.         B.      C.       D.

6．的值是 (   )

A．          B．       C．         D．

7. 化简cos2＋6sin28sin4的结果是________。

8. 化简=_________。

9. 函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是________。

10．函数的图象中相邻两对称轴的距离是________  。

11.已知函数.

（1）求函数的最小正周期;  

（2）求函数取得最大值的所有组成的集合.

12．化简下列各式：

（1），

（2）

13、 已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2 . B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求△ABC面积的最小值.