高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后测评

3.2简单的三角恒等变换

一、选择题

1．设－3π<α<－，则化简的结果是(　　)

A．sin　　　　　　　 B．cos

C．－cos      D．－sin

[答案]　C

[解析]　∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，

∴cos<0，

∴原式＝＝|cos|＝－cos.

2．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　)

A．－π      B．－

C.       D.π

[答案]　D

[解析]　∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π

由原式可知：2sin·cos＝(－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.

3．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形     B．等腰三角形

C．不等边三角形    D．直角三角形

[答案]　B

[解析]　∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C),2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，

即cosBcosC＋sinBsinC＝1，

∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.

4．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是(　　)

A．[－1,1]      B．[－，]

C．[－，]     D．[－，]

[答案]　C

[解析]　cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]

＝－sin(A－C)，

∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－，]．

5．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于(　　)

A．－　 　B.　　　C．－a　 　D．a

[答案]　C

[解析]　法一：sin(α＋β)sin(α－β)

＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)

＝sin2αcos2β－cos2αsin2β

＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)

＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.

法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.

6．函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx的最大值是(　　)

A．2　　　　B.　　　C.　　D.

[答案]　C

[解析]　f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cosx·(cosx＋sinx)＝cosxsin(x＋)＝[sin(2x＋)＋sin]＝sin(2x＋)＋

∴当sin(2x＋)＝1时，f(x)取得最大值

即f(x)max＝×1＋＝.

7．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)

A．－　　B．－　　C.　　D.

[答案]　C

[解析]　法一：原式左边＝

＝

＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，

∴sinα＋cosα＝，故选C.

法二：原式＝

＝

＝－(sinα＋cosα)＝－，

∴cosα＋sinα＝，故选C.

8．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A.      B.

C．－     D．－

[答案]　D

[解析]　∵5π<θ<6π，∴<<，

∴sin＝－＝－.

9．(09·江西文)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为(　　)

A．2π　　　B.　　　C．π　　　D.

[答案]　A

[解析]　因为f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx

＝2cos，

所以f(x)的最小正周期为2π.

10．已知－＜α＜－π，则的值为(　　)

A．－sin      B．cos

C．sin      D．－cos

[答案]　A

[解析]　原式＝

＝＝

＝|sin|＝－sin，∴选A.

二、填空题

11．若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.

[答案]　

[解析]　∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，

∴tan＝

＝＝.

12.－的值为________．

[答案]　4

[解析]　原式＝－＝

＝＝4.

13．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.

[答案]　1

[解析]　tanβ＝＝＝tan，

∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，

∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.

三、解答题

14．求sin42°－cos12°＋sin54°的值．

[解析]　sin42°－cos12°＋sin54°

＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°

＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°

＝＝

＝＝＝.

15．求cos＋cos＋cos的值．

[解析]　cos＋cos＋cos＝·

＝

＝＝－.

16．方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，请说明理由．

[解析]　设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x1、x2，

则x1＝sinα，x2＝sinβ＝sin＝cosα

由韦达定理得：

x1＋x2＝sinα＋cosα＝sin

x1·x2＝sinα·cosα＝sin2α

于是有，

即，∴，

易知该混合组无解．

故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．

[点评]　此题易产生下面错解．

设直角三角形的两个锐角分别为α和β.

已知方程的两根为x1和x2，则x1＝sinα，x2＝sinβ.

又α与β互余，∴x2＝sin＝cosα.

由sin2α＋cos2α＝1得

x＋x＝1⇒(x1＋x2)2－2x1x2＝1.

由韦达定理得：2－2·＝1⇒9k2－8k－20＝0.解得：k1＝2，k2＝－.

错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k＝2时，原方程可化为8x2＋12x＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k＝－时，原方程化为：8x2－x－＝0，此时x1x2＝－，即sinαcosα＝－.∵α是锐角，∴该式显然不成立．

17．求函数y＝cos3x·cosx的最值．

[解析]　y＝cos3x·cosx＝(cos4x＋cos2x)

＝(2cos22x－1＋cos2x)＝cos22x＋cos2x－

＝2－.

∵cos2x∈[－1,1]，

∴当cos2x＝－时，y取得最小值－；

当cos2x＝1时，y取得最大值1.