精品解析：2020年山东省济南市市中区九年级中考二模数学试题（解析版+原卷版）

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1.的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
2.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
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A. [Failed t dwnlad image : httpqbm-images.ss-cn-]B. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]C. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]D. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图进行判断即可．
【详解】它的俯视图如下图所示：
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故选：C．
【点睛】考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3.自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113 800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113 800用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：113800=．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形外角性质（三角形一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可.
【详解】如图：
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∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一副三角板所对应的角度是、、、和三角形外角的性质.本题容易，解法很灵活.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选B．
【点睛】此题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.江西景德镇的青花瓷是中华陶瓷工艺的珍品，下列青花瓷上的青花图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. [Failed t dwnlad image : httpqbm-images.ss-cn-]B. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]C. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]D. [Failed t dwnlad image : http://qbm-images.ss-cn-]
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7.如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数字之和为5的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
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共有12种等可能的结果数，其中两数字之和为5的结果数为3，
所以指针所指区域内的数字之和为5的概率＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可.
【详解】，
=
=
=
=
故选：C.
【点睛】此题考查了分式的加减运算法则，此题比较简单，注意掌握通分的知识，注意运算结果需要化为最简.
9.若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m≤1B. m≤﹣1C. m≤1且m≠0D. m≥1且m≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣2）2﹣4m≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得m≠0且△＝(﹣2)2﹣4m≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10.某次台风来袭时，一棵大树树干AB(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D(如图所示)，量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是( )米？(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4)
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A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据∠ADC=60°，先构建直角三角形，再解直角三角形,所以过A点作AE⊥CD于点E，则在在Rt△AED中, 利用60°的正余弦既可以求出AE、DE的长度；在Rt△ AEC中，易知∠ACE = 45°，再利用45°的正切，求出AC的长度；进而即可求取大数原来的高度.
【详解】解：过A点作AE⊥CD于点E，
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∵∠BAC= 15°
∴∠DAC = 90°- 15°= 75°
∵∠ADC=60°
∴在Rt△AED中
∵cs 60°
∴
∵sin 60°
∴
∴∠EAD=90°- ∠ADE = 90°- 60°= 30°
在Rt△AEC中
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE = 75°- 30°= 45°
∴∠ACE=90°-∠CAE = 90°- 45°= 45°
∴
∴sin45°
∴
∴
米
答:这棵大树A B原来的高度是10米.
故选B.
【点睛】本题主要考查了运用简单锐角三角函数解直角三形．由已知条件做辅助线构建直角三角形是本题的解题关键.
11.如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（ ）
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A. B. +2C. +2D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝2，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得．
【详解】解：∵点A在一次函数y＝x图象上，∴tan∠AOB＝，
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，
∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，
∵∠APB＝2∠AOB，∠APH＝∠APB，AH＝AB＝＝DG，
∴∠APH＝∠AOB，
∴tan∠APH＝tan∠AOB＝，
∴＝，
∴PH＝1，
∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，
∴PD＝＝＝，
∴OP＝PA＝＝＝2，
在△OPD中，OP+PD≥OD，
∴OD的最大值为：OP+PD＝2+，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，三角函数的定义以及勾股定理的应用，三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
12.如果存在常数M，对于任意函数值y，满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；所有满足条件M中，最小值称为这个函数的上确界．例如，函数，，因此有上确界是2，如果函数上确界是n，且函数最小值不超过2m，则m取值范围( )
A. m≤B. mC. D. m
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的上确界和函数增减性得到，函数的最小值为，根据，函数的最小值不超过，列不等式求解集即可．
【详解】解：在中，随的增大而减小，
上确界为，即，
函数的最小值是，
解得，再考虑，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对定义函数的理解和一次函数的性质的灵活运用；一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降；能够正确理解有界函数和上确界是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分．把答案填在题中的横线上）．
13.分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法直接分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式，及提公因式法分解因式是解题的关键．
14.如图是客厅里的地毯，被均匀分成16块，除颜色外其他均相同，一小狗跑来停在地毯上，它停在阴影部分的概率为________．
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【答案】
【解析】
【分析】
分析题意知，小狗停在阴影部分的概率的即为阴影部分面积与地毯总面积的之比，列式计算即可.
【详解】解：∵小狗停在阴影部分的概率的即为阴影部分面积与地毯总面积的比，
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查与实际相关的概率计算；明确小狗停在阴影部分的概率的即为阴影部分面积与地毯总面积的之比，是解本题的关键.
15.方程的解为_______
【答案】．
【解析】
分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
经检验为原方程的解,
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为_____．
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【答案】
【解析】
【分析】
作AF⊥BC于F，解直角三角形分别求出AC、BC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为．
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【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．
17.张琪和爸爸到英雄山广场运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张琪继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路点y1(米)，y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示．求张琪开始返回时与爸爸相距______米．
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【答案】1500．
【解析】
【分析】
设爸爸返回的解析式为，把（15，3000），（45，0）求出线段的解析式，设线段表示的函数关系式为，把（15，3000）代入求出线段的解析式，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）设爸爸返回的解析式为，
把（15，3000），（45，0）代入得：
，解得，
爸爸返问时，离家的路程（米）与运动时间（分）之间的函数关系式为：
；
设线段表示的函数关系式为，把（15，3000）代入得，
线段表示的函数关系式为，
∴当时，
，
张琪开始返回时与爸爸相距1500米．
故答案为：1500．
【点睛】本题考查一次函数的应用，能读懂题意列出关系式是解答本题的关键．
18.如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③=；④GH的长为5，
其中正确的结论有________．（写出所有正确结论的番号）
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【答案】①③④
【解析】
【分析】
过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN＝x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD＝DG．在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．
【详解】如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折叠可得：AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形ABEF为正方形，∴AF＝AB＝10，故①正确；
∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折叠的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，由勾股定理可得：MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得：x=18（舍去），x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴，即，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正确；
又∵△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周长＝BG+GH+BH＝45+7＝12+4，故②不正确；③正确；
综上可知正确的为①③④．
故答案为①③④．
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【点睛】本题是四边形综合题，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G点作AB的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．本题考查了知识点较多，综合性质较强，难度较大．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.计算：
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次根式的化简、零指数幂、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，化简计算即可．
【详解】解：
=
=3
【点睛】本题考查了二次根式的化简、零指数幂、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟悉相关性质是解题的关键．
20.解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】 ，不等式组的整数解为-2，-1，0，1．
【解析】
【分析】
求出每个不等式的解集，然后再找出整数解即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
即不等式组的整数解为：-2，-1，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
21.如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF．
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【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：对边相等来解答．需要证明延长的边相等，就需要证明三角形全等．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC，DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题．
22.某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“雾霾知多少”的专题调查括动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请你结合图表中的信息解答下列问题
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，A部分所对应的扇形的圆心角是 °，所抽取学生对丁雾霾了解程度的众数是 ；
（3）若该校共有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人数约为多少？
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【答案】（1）0.6，4；（2）72，B（比较了解）；（3）900人
【解析】
【分析】
（1）先根据“非常了解”的频数及其频率求得总人数，再由频率＝频数÷总数求解可得；
（2）用360°乘以“非常了解”频率可得圆心角度数，再根据众数的定义进一步求解即可；
（3）总人数乘以样本中“比较了解”的频率即可得．
【详解】（1）∵本次调查的总人数为40÷0.2＝200（人），
∴m＝120÷200＝0.6，n＝200×0.02＝4，
故答案为：0.6，4；
（2）等级为“非常了解”的学生在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×0.2＝72°；
根据表格信息可知，其中B（比较了解）出现次数最多，所以所抽取学生对丁雾霾了解程度的众数是B（比较了解）．
故答案为：72，B（比较了解）；
（3）1500×0.6＝900（人），
答：估计这些学生中“比较了解”人数约为900人．
【点睛】本题主要考查了数据的统计与分析的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
23.如图，是⊙的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交、于、两点．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据CN为⊙O的切线，可得∠OCA＋∠ACM＝90°，根据OM⊥AB，可得∠OAC＋∠ODA＝90°，再根据OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，于是可推出∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，即可证明MD＝MC；
（2）先证明，得出，求出，设，根据勾股定理可得，即可求出MC．
【详解】解（1）连接，
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∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC＋∠ODA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）由题意可知，，
∵AB是的直径，
，
，
，，
，
，即：，
可得：，
设
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
即：．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
24.某中学六七年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
【答案】（1）A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；（2）租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．
【解析】
【分析】
（1）设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，根据载客量，可得方程组，解方程组，可得答案；
（2）设租用A型a辆，B型b辆，根据题意列出方程:30a+40b=350求正整数解可得答案．
【详解】解：（1）设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，
可得：，
解得：，
答：A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；
（2）设租用A型a辆，B型b辆，
可得：30a+40b=350，
因为a，b为正整数，所以方程的解为：，
方案一：A型1辆，B型8辆，费用：100×1+120×8=1060元；
方案二：A型5辆，B型5辆，费用：100×5+120×5=1100元；
方案三：A型9辆，B型2辆，费用：100×9+120×2=1140元；
所以租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，关键是根据题中数量关系列出方程或方程组；第（2）问要注意求二元一次方程的正整数解．
25.如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．
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【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，
∴B(3，4)．
∵OD=DB，
∴D(，2)．
∵y=经过D(，2)，
∴k=3，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图①中，连接OE，OF．
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由题意E(，4)，F(3，1)，
∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
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由题意OB=OH=5，
∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH==2，
∴sin∠CBH==．
∵OM⊥BH，
∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，
∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，
∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD=，
∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，
∴NH+ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK=BC=4，
∴HN+ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
26.在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．
（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．
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（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
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（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．
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【答案】（1）2；（2）；（3）的值最大，此时.
【解析】
【分析】
(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而AC=2即可求解.
(2)过点B作BH⊥CD于H，求得△CBH三边之比为，进而求出CH和BH的长，再求得△DBH为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.
(3)证明，再取的中点，以为圆心，为半径作，连接，得出D点的运动轨迹为以H为圆心，HA为半径的圆，当CD是该圆的直径时CD最大，即可求解.
【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’
又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形
∴.
故答案为.
(2)如图2中，作于，如下图所示：
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是等边三角形，
，
，
，且△DBH为等腰直角三角形，
.
.
故答案为：.
的长有最大值为，理由如下，如下图3中，
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取的中点，以为圆心，为半径作，连接．
，
∴
点的运动轨迹是以H为圆心，HA为半径的圆，当CD是该圆的直径时CD最大,
故时，
的值最大，此时.
故答案为.
【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.
27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，点为抛物线的顶点．点为轴上的动点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，其中旋转后的对应点分别记为．
（1）若，求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形的面积为时，求的值；
（3）探究满足什么条件时，存在点，使得四边形为菱形?请说明理由．
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【答案】（1）（2）；（3）时，存在点，使得四边形为菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）因为，所以，将代入得关于b和c的二元一次方程组，解方程组得到b和c即可求得原抛物线的解析式；
（2）连接，延长与轴交于点，根据题（1）可求出点B、C的坐标，继而求出直线BC的解析式及点E的坐标，根据题意易知四边形是平行四边形，继而可知，由此可知ME＝10，继而即可求解点M的坐标；
（3）如图，过点作轴于点，当平行四边形为菱形时，应有，故点在之间，继而可证根据相似三角形的性质可得代入数据即可求解．
【详解】解：（1）∵，∴
将代入得：
解得：
∴原抛物线的函数表达式为：；
（2）连接，并延长与轴交于点，
二次函数的项点为
直线的解析式为：
抛物线绕点旋转
四边形是平行四边形，
（3）如图，过点作轴于点
当平行四边形为菱形时，应有，
故点在之间，
当时，
即
二次函数顶点为
，
，
∴，
所以时，存在点，使得四边形为菱形．
[Failed t dwnlad image : httpqbm-images.ss-cn-]【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．
等级
A
B
C
D
频数
40
120
36
n
频率
0.2
m
0.18
0.02