人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试教学设计

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第十二教时教材：平面向量的数量积的运算律目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。过程：复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质2．判断下列各题正确与否： 1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。 ( √ ) 2若a  0，则对任一非零向量b，有ab  0。 ( × ) 3若a  0，ab = 0，则b = 0。 ( × ) 4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( × ) 5若a  0，ab = ac，则b = c。 ( × ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a  0时成立。 ( × ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c  a(bc)。 ( × ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( √ )平面向量的运算律交换律：a  b = b  a证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a(a)b =(ab) = a(b)证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos， a(b) =|a||b|cos， 若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos， a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos。(a + b)c = ac + bc12abABOA1B1Cc 在平面内取一点O，作= a, = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2 ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略）应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直， a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。A B D C 解：如图： ABCD中：，，= ∴||2= 而= ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 小结：运算律作业： P119 习题5.6 7、8 A B D C 《教学与测试》P152 练习