高中数学人教版新课标A选修4-1第一讲 相似三角形的判定及有关性质三 相似三角形的判定及性质图文ppt课件

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1.3　相似三角形的判定及性质第一课时　相似三角形的判定1.掌握证明两个三角形相似的方法，正确选择好的方法．2.能应用三角形相似解决有关问题.1．相似比：__________________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形____________________叫做相似比(或相似系数)．2．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的____________与另一个三角形的____________对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的________与另一个三角形的____________对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．1．对应角相等、对应边成比例　对应边的比值2．两个角　两个角3．两边　两边4．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边__________，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5．定理：(1)如果两个直角三角形有一个________相等，那么它们相似．(2)如果两个直角三角形的__________对应成比例，那么它们相似．6．定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应__________，那么这两个直角三角形__________．4．对应成比例5．锐角对应　两条直角边6．成比例　相似 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠B的角平分线，试利用三角形相似的关系证明：AD2＝DC·AC.分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，所以∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB＝CD∶BC.∴BC2＝AB·CD, ∴AD=BC,AB=AC.∴AD2＝AC·CD. 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.证明：如图,连接PC，在△ABC中，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD垂直平分BC.∴PB＝PC，∠1＝∠2.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2.∴∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠EPC＝∠CPF.∴△PCE∽△PFC.∴ ＝ .∴PC2＝PE·PF.∵PC＝PB.∴PB2＝PE·PF. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于点G. 求证：EG2＝FD·EB.证明：∵∠ACE＝90°，CD⊥AB，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.∵∠AFD＝∠CFE，∴∠FAD＋∠CFE＝90°.又∵∠CAE＝∠FAD，∴∠AEC＝∠CFE，∴CF＝CE.∵AE是∠CAB的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC，∴EC＝EG，∴CF＝EG.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°，∴∠ACF＝∠B.1．下列命题正确的是(　　)A．有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似B．有两边成比例的两个等腰三角形相似C．有三边分别对应平行的两个三角形相似D．有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似C 2．如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△ADE与△AFG的相似比是(　　)A．3∶4　　　　　　　　B．4∶3C．8∶9 D．9∶83．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个C 4．如图所示，在▱ABCD中，直线EH与CB、CD的延长线分别交于点H、E，EH与AD、AB分别交于点F、G，则图中相似三角形的对数是(　　)A．3对 B．4对C．5对 D．6对B 5．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　　)A6．如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且 ＝ .下列结论正确的是(　　)A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCAB 7．如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是(　　)A．①②④　B．①③④　C．②③④　D．①②③D 8．如图所示，△ABC的三边长是2、6、7，△DEF的三边长是4、12、14，且△ABC与△DEF相似，则∠A＝∠____，∠B＝∠____，∠C＝∠______.＝ ＝ ＝______.9．如图所示，DE∥BC，则△ADE∽△______，∠A＝∠______、∠ADE＝∠____，∠AED＝∠C.设AD＝5，DB＝3，则△ADE与△ABC的相似比是______．答案：ABC　A　B　10．如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，写出图中所有与△ACE相似的三角形：__________.10．△FCD、△FBE、△ABD11．如图所示，AB＝8，AD＝3，AC＝6，当AE＝____时，△ADE∽△ACB.4 12．在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：＝ .分析：如右图，要证 ＝ ,可过点C作CM∥AB，证明△CPM∽ △BPD，此时只需证明CM＝CE即可．证明：过点C作CM∥AB，交DP于点M.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM.∵CM∥BD，∴△CPM∽△BPD，点评：作出辅助线，证明CM＝CE是解题的关键．利用相似三角形的性质可得等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解此类题一般可分为三步：①把等积式化为比例式，从而确定相关的两三角形相似；②确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形；③设法找到证明这两个三角形相似的条件13．如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC与△CDB相似？时，△ABC∽△BDCBD= 综上所述：当BD= 或 时，△ABC与△BDC相似.判定两个三角形相似的方法1．定义法，即对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形．2．平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．判定定理：(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.(2)判定定理2：两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束