数学选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.教课内容课件ppt

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1．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 1．理解两个计数原理的内容及它们的区别．(难点)2．两个计数原理的应用．(重点)3．应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步．(易混点) 2010年3月3日政协十一届三次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议．他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘．问：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？分类加法计数原理与分步乘法计数原理m＋nm×n1．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　　)A．10种　　　　　　　　　 B．20种C．25种 D．32种解析：　5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32种报名方法．答案：　D2．已知集合A{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(　　)A．5个 B．4个C．3个 D．2个解析：　满足题意的集合A可以是{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共有5个，故选A.答案：　A3．由数字2,3,4,5,6可组成________个没有重复数字的三位数．解析：　百位上有5种选法，十位上有4种选法，个位上有3种选法．故共有5×4×3＝60个．答案：　604．2010年上海世博会共分5个片区，其中浦东区有A片区，B片区，C片区三个片区，每个片区中设置的场馆个数如下：问在浦东区共有多少个场馆？解析：　浦东区的场馆有三类：A片区有73个，B片区有32个，C片区有139个．根据分类加法计数原理，浦东区共有场馆73＋32＋139＝244个. 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？[策略点睛]　[解题过程]　要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有15种不同的方法；第2类，从中层取一本语文书有16种不同的方法；第3类，从下层取一本化学书有14种不同的方法．其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16＋14＝45.[题后感悟]　(1)问题类型如何确定？本题要“完成的一件事”是“从书架中取出一本书”，这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．因而它是一个分类问题，应用分类加法计数原理解决．(2)分类的方法是什么？方法一：按书架的“层”分类，即可以取上层的，也可以取中层的，还可以取下层的，故分三类．方法二：按书的“种类”分类，即可以从数学书中取，也可以从语文书中取，还可以从化学书中取，故分三类．(3)分类的原则是什么？标准一致，不重复，不遗漏．1.某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？解析：　由图表可知，分两类，第1类，甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法；第2类，乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法；由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N＝5＋3＝8(种)． 书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？本题考查分步乘法计数原理．使用这个原理的关键是：依据题意把完成的一件事恰当地分成若干个步骤．[解题过程]　(1)完成这个工作可分三个步骤：第一步，从6本不同的数学书中，任取一本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中，任取一本，有6种取法；第三步，从5本不同的英语书中，任取一本，有5种取法．根据分步乘法计数原理，共有6×6×5＝180(种)不同取法．(2)本题实际上是从17本书中任取3本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：第一步，从17本书中任取1本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；第二步，从剩下的16本书中任取1本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；第三步，从最后剩下的15本书中任取1本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4 080(种)不同的排法．[题后感悟]　利用分步乘法计数原理解题的一般思路：2.有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？解析：　(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理．故3×3×3×3＝34＝81(种)．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同学生中的一个．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理．故4×4×4＝43＝64(种)． 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法．(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原理；(2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步乘法计数原理．[规范解答]　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；2分第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法.4分根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法.6分(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第1步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法.8分第2步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法.10分根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法.12分[题后感悟]　用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性． 3.本例中第(2)问，若某人只要求两张卡(可同为移动卡或联通卡)，放到两个手机内使用，问共有多少种不同的取法．解析：　只要求两张不同的卡，可以分两步完成：第一步，从包括移动和联通在内的22张卡中任选一张，有22种选法；第二步，从剩下的21张卡中任选一张，共有21种选法．根据分步乘法计数原理，共有22×21＝462(种)选法．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解析：　(1)从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．解析：　(1)从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选一人作中心发言人，有50×42＝2 100种选法；②高二和高三各选一人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选一人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．1．两个计数原理的区别2.分类加法计数原理的理解及简单应用分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．一般地，标准不同，分类的结果也不同；其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案．简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”．3．分步乘法计数原理的理解及简单应用分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事情．分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同．一个合理的分步应当满足：第一，完成这件事情必需且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事情的一种方法；第二，完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤所选用的方法数无关．简而言之，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”．◎用0到6这7个数字，可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数？【错解一】　分4步进行：第1步，排个位，在0,2,4,6中选一个有4种方法；第2步，排十位，有6种方法；第3步，排百位有5种方法；第4步，排千位有4种方法，共有方法种数4×6×5×4＝480.【错解二】　考虑到首位不能排数字0，分4步进行：第1步，排千位，在1,2,3,4,5,6中选1个，有6种方法；第2步，排个位，在0,2,4,6中选1个，有4种方法；第3步，排十位，在余下的5个数字中选1个，有5种方法；第4步，排百位，在余下的4个数字中选1个，有4种方法；共有6×4×5×4＝480种方法．【错因】　错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况．错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按此排法有可能为“2032”，不符合条件．若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关系到第2步排个位的选取；若先排个位，应考虑是否排0，因为它关系到首位的选排．【正解】　分两类：第1类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×4×5×4＝240种取法．第2类，首位取2,4,6中某个偶数数字，如2时，则末位只能取0,4,6中任一个，百位又不能取与上述重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×3×5×4＝180种取法．故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数. 练考题、验能力、轻巧夺冠