《排列》素材1 新人教B版必修2-3

构建数学模型巧解排列应用题

许多排列、组合应用题直接求解往往较为困难，若能认真阅读理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则简捷、巧妙，同时也能培养同学们的探索能力和创新能力．下面举例说明．

　　一、构建方程模型

　　例１　上一个有10级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？

解析：设x表示上一级台阶的步数，y表示上两级台阶的步数，

则．

    当时，6步走完10级台阶的方法为种；

　　当对应的的取值分别为5，3，2，1，0相对应的上台阶的方法为和．

　　故总有上台阶的方法为种．

　　点评：构建方程模型的关键是：找到等量关系，正确列出方程．

　　二、构建不等式模型

　　例2　某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（　　）

　　Ａ．5种  Ｂ．6种  Ｃ．7种  Ｄ．8种

解析：设买单片软件x件，盒装磁盘y盒，则命题转化为不等式组：

的解的个数．

不难求得为其解，

所以不同的选购方式共有7种．

　　点评：根据题意分析不等关系，通过设元正确列出不等式组是解题的关键．

　　三、构建数列模型

　　例3　跳格游戏：如图1，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（　　）

　　Ａ．21  Ｂ．26  Ｃ．17  Ｄ．13

　　解析：设跳到第n格的方法种数为，则到达第n格的方法有两类：①向前跳1格到达第n格，方法数为；②向前跳2格到达第n格，方法数为，则由分类加法计数原理知：，由数列的递推关系得该数列的前8项为１，1，2，3，5，8，13，21．所以人从格外跳到第8格的方法种数为21种．

　　点评：本题通过数列模型，考查了根据逻辑推理进行分类讨论的能力．

　　四、构建立体几何模型

　　例４　如图2②，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（　　）

解析：如图2①，构造三棱锥，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为种．

　　点评：本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快．

　　五、构建隔板模型

　　例5　把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，问有多少种不同的装法．

　　解法一：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：

　　①所有元素必须相同．②所有元素必须分完．③每组至少有一个元素．

　　此例有限制条件，不能直接运用隔板法．但可转化为隔板问题．向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后还剩下17个球，然后再把这17个小球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种不同的分法．

　　解法二：此例可转化为不同的两类元素，即小球和隔板的排列问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入1，2，3个球后还剩下14个球，然后再将这14个球装入１，２，３号三个盒子中的某几个（不再要求每个盒子必须有球），故可从这14个球和2个隔板所占的16个位置中选出2个位置放隔板，剩下的位置放小球即可．故共有种不同的分法．

　　点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建隔板模型的关键．

　　六、构建邮筒模型

   例6　若集合满足，则称为集合的一个分析；并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合的不同分拆种数为　　　　．

　　解析：建立数学模型，如图3，设集合为邮筒①，设集合为邮筒②，设集合为邮筒③，设三个元素为三封信，则问题转化为我们非常熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题．可分三步进行求解：第一步投，共有种投法；第二步投，共有种投法；第三步投，共有种投法．根据分步乘法计数原理共有种投法，即集合的不同分拆种数为27．

　　点评：本题属集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁．这里通过构建邮筒模型转化求解，则思路清晰、图文并茂、运算简炼、颇为有趣．

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