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期末复习综合训练题2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版 含答案）
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2021-2022学年北师大版八年级数学第一学期期末复习综合训练题（附答案）1．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（ ）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则BC的长度为（ ）A．12 B． C．6 D．25．下列说法，正确的是（ ）A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是真命题 C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°7．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点9．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4，则AB＝6；④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE，其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH＝DF；③DF＝DE；④∠AEF＝45°；⑤S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．511．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 ．12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ．13．如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于 ．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．16．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．17．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）2+＝0．（1）直接写出：a＝ ，b＝ ；（2）如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？证明你的结论．（3）在（2）的条件下，求直线BE的解析式．18．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．19．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的中线，AB的垂直平分线MN交AD于点O，连接BO并延长交AC于点E，AH⊥BE，垂足为H．（1）求证：△ABD≌△BAH；（2）若∠BAC＝30°，AE＝2，求BC的长；（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是AC上的一点，且∠ABD＝20°，若BC＝6，请你直接写出AD的长．21．已知∠MON＝90°，OC为∠MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PB⊥PA．（1）若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：PA＝PB；（2）若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（1）的前提下，以图3中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设直线PA与x轴交于D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，0），求直线DE的函数解析式． 参考答案1．解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴AD＝AM，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；故选：D．2．解：∵BA＝BC，BH是角平分线，∴BH⊥AC，AH＝CH，∴PA＝PC，故①正确，∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，∵•AB•CD＝•AC•BH，∴CD＝＝，∴PA+PD的最小值为，故③正确，如图，过点P作PT⊥AB于T．在△PAT和△PAH中，，∴△PAT≌△PAH（AAS），∴AT＝AH＝6，PT＝PH，设PT＝PH＝x，在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，故选：A．3．解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABD+∠BDE，∴2∠ABD+2∠BDE+∠A＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴2∠BDE＝90°，∴∠BDE＝45°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠FDE＝∠FED＝45°，故②正确，延长EF交BC于H，连接HD．∵∠FBE＝∠FBH，BF＝BF，∠BFE＝∠BFH，∴△BFE≌△BFH（ASA），∴EF＝FH，∵DF⊥EH，∴DE＝DH，∴∠DEH＝∠DHE＝45°，∵∠DFH+∠DCH＝180°，作FT⊥CD于T，FN⊥BC于N，利用全等三角形的性质证明FT＝FN，推出FC平分∠BCD∴∠DCF＝∠DHF＝45°，∴∠FCB＝45°，解法二：连接AF，证明AFE和AFD全等，F为内心．故③正确，作DM⊥AB于M，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，∴DM＝DC＝4，∵AE＝AD＝5，∴S△ADE＝•AE•DM＝10，故④正确，如果①成立，则∠CFB＝∠ADB，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠A＝∠BCF＝45°，但是题目没有说明三角形ABC为等腰直角三角形，所以①不成立．，故①错误，故选：C．4．证明：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2故选：D．5．解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是若a2＞b2，则a＞b，是假命题，例如（﹣2）2＞02，而﹣2＜0，故本选项说法错误，不符合题意；C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项说法错误，不符合题意；故选：C．6．解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：C．7．解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说法正确；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，本小题说法正确；故选：B．8．解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．故选：A．9．解：∵AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠C＝∠FAG＝45°， BC＝AB，由旋转性质可知△ABH≌△ACE，∴∠ABH＝∠ACE＝45°，BH＝CE，，AH＝AE，∠BAH＝∠CAE，∠HBD＝∠ABH+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴BH⊥BC，故①正确；∵∠BAH＝∠CAE，∴∠BAH+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠FAG＝45°，即∠DAH＝45°，∴∠DAH＝∠DAE，在△ADH和△ADE中，，∴△ADH≌△ADE（SAS），DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，∴AD平分∠HDE，故②正确；在Rt△BDH中，BD2+BH2＝DH2，∵BH＝CE，DH＝DE，∴BD2+BH2＝DH2，当BD＝3，CE＝4时，32+42＝DE2，DE＝5，∴BC BD+DE+CE＝12，BC＝AB＝12，∴AB＝6，故③正确；∵BA＝BE，∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠BEA＝67.5°，∴∠ADE＝∠BEA，∠ADB＝180°﹣∠ADE，∠AEC＝180°﹣∠BEA，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，BD2+CE2＝DE2，∴DE＝BD，设A到BC边距离为h，，，∴，∴，故④错误；综上①②③正确，故选：C．10．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，故①正确；在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF，在Rt△ABH和Rt△DCF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，故②正确；∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5°＝22.5°+∠AEF，∴∠AEF＝45°，故④正确；∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴DF＝DE，故③正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤错误，∴正确的是①②③④，故选：C．11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC，DH⊥AC，∴AH＝HC，∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠ACF＝90°，AD＝2DH，∵AD＝2CF，∴DH＝CF，在△DHE和△FCE中，，∴△DHE≌△FCE（AAS）∴EH＝EC，∴EC＝EH＝CH＝AH，∵AE＝24，∴EH＝EC＝8．故答案为8．12．解：设CE＝x，∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，在Rt△BCE中，∵BE²＝BC²+CE²，∴（3+x）²＝4²+x²，解得：x＝，∴BE＝3+＝，故答案为：．13．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∵△BCE是△DBC沿BC翻转得到得，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，CE＝BC＝，过E作EH⊥AC交CA的延长线于H，易证△CEH≌△DCG，△DBF≌△DCG，∴EH＝CG，BF＝CG，∵四边形AFDG和四边形BECD是正方形，∴AF＝AG，设BF＝CG＝x，则AF＝4﹣x，AG＝3+x，∴4﹣x＝3+x，∴x＝，∴EH＝CG＝，∴△ACE的面积＝×3＝，故答案为：．14．解：连接OB、OC，∵AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，∴点O是△ABC的外心，∠BAO＝∠CAO＝32°，∠ABC＝∠ACB＝58°，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝32°，∴∠OBC＝∠OCB＝26°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴EC＝EO，∴∠EOC＝∠ECO＝26°，∴∠OEC＝180°﹣26°﹣26°＝128°，故答案为：128．15．（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．16．（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a，∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝×a＝a．解法二：如答图1b．∵CB＝a，CE＝2a，∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a，∵△ABM≌△FDM，∴BM＝DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM＝ME＝BE＝a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF＝AG，∴BM＝ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2+45°＝135°∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°，∴AB∥CF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，BM＝DM，∴AB＝BC＝DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM＝DM，∴BM＝ME＝BD，故BM＝ME．17．解：（1）∵（a+1）2+＝0，∴a+1＝0，b+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣3，故答案为：﹣1；﹣3；（2）OB＝OC，证明如下：如图，过O作OF⊥OE，交BE于F，∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，∴△EOF为等腰直角三角形，∴∠EOC+∠DOF＝∠DOF+∠FOB＝90°，∴∠EOC＝∠FOB，且∠OEC＝∠OFB＝135°，在△EOC和△FOB中，，∴△EOC≌△FOB（ASA），∴OB＝OC；（3）∵△EOC≌△FOB，∴∠OCE＝∠OBE，OB＝OC，在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（ASA），∴OD＝OA，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OD＝1，OC＝3，∴D（0，﹣1），B（3，0），设直线BE解析式为y＝kx+b，把B、D两点坐标代入可得，解得．∴直线BE的解析式为y＝x﹣1．18．解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．∴DB＝BA．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG＝BC．∵BE＝EC，∠BEC＝60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC＝BE，∠CBE＝60°．∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF＝EF．（3）猜想：DF＝FE．过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB＝90°．∵DA＝DB，∴AH＝BH，∠1＝∠HDB．∵∠ACB＝90°，∴HC＝HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE＝90°．∵∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，∴∠HDB＝∠BEH＝∠ABC．∴∠DBC＝∠DBH+∠ABC＝∠DBH+∠HDB＝90°，∠EBH＝∠EBK+∠ABC＝∠EBK+∠BEK＝90°．∴DB∥HE，DH∥BE．∴四边形DHEB是平行四边形．∴DF＝EF．19．（1）证明：∵AB∥CD，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2+BC2＝100，AC2＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8﹣4t，∵∠NAB+∠ABN＝90°，∠ABN+∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴＝，即＝，解得t＝；（3）分为三种情况：①如图1所示，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8﹣4＝4cm，∴t＝4秒；②如图2所示，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴＝，即＝，解得CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8﹣6.4＝1.6cm，∴t＝1.6秒；③如图3所示，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴＝，即＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8﹣2.5＝5.5cm，∴t＝5.5秒．综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．20．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD是BC上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝，∵MN垂直平分线AB，∴BO＝AO，∴∠HBA＝∠DAB，∵AH⊥BE，AD⊥BC，∴∠H＝∠ADB＝90°，在△ABH和△BAD中，，∴△ABH≌△BAD（AAS）；（2）如图1所示：∵∠BAC＝30°，∴∠BAD＝＝，又∵∠HBA＝∠DAB∴∠HBA＝15°，又∵∠HBA+∠HAB＝90°，∴∠HAB＝75°，又∵∠HAB＝∠BAE+∠EAH，∴∠EAH＝45°，在Rt△AEH中，由勾股定理得：2AH2＝AE2，又∵AE＝2，∴AH＝，∴BD＝，又∵BC＝2BD，∴BC＝；（3）过点A作AE⊥BC，AH垂直于BD的延长线于点H，如图2所示：由（1）可知BE＝AH，∵BC＝6，∴AH＝3，又∵∠ADH＝∠ABH+∠BAD，∠ABD＝20°，∠BAD＝40°，∴∠ADH＝60°，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2＝AH2+DH2，又∵∠DAH＝30°，∴AD＝2DH，∴AD＝．21．（1）证明：如图1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，∵OC平分∠MON，∴PQ＝PR，∵∠APB＝∠QPR＝90°，∴∠APQ＝∠BPR，∵∠PQA＝∠PRB＝90°，∴△PQA≌△PRB．∴PA＝PB．（2）解：如图2中，结论仍然成立．理由：作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，∵OC平分∠MON，∴PQ＝PR，∵∠APB＝∠QPR＝90°，∴∠APQ＝∠BPR，∵∠PQA＝∠PRB＝90°，∴△PQA≌△PRB．∴PA＝PB．（3）解：如图3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，同理可得：△PQA≌△PRB．∴QA＝RB，PQ＝PR，设QA＝RB＝x，PR＝OQ＝OA﹣QA＝6﹣x．PQ＝OR＝OB+BR＝2+x，∴6﹣x＝2+x，∴x＝2，∴P（4，4），设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PA的解析式为y＝﹣x+6．由y＝0，解得x＝12，∴D（12，0），同理可得E（0，﹣4），∴直线DE的解析式为y＝x﹣4．
2021-2022学年北师大版八年级数学第一学期期末复习综合训练题（附答案）1．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（ ）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则BC的长度为（ ）A．12 B． C．6 D．25．下列说法，正确的是（ ）A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是真命题 C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°7．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点9．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4，则AB＝6；④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE，其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH＝DF；③DF＝DE；④∠AEF＝45°；⑤S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．511．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 ．12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ．13．如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于 ．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．16．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．17．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）2+＝0．（1）直接写出：a＝ ，b＝ ；（2）如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？证明你的结论．（3）在（2）的条件下，求直线BE的解析式．18．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．19．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的中线，AB的垂直平分线MN交AD于点O，连接BO并延长交AC于点E，AH⊥BE，垂足为H．（1）求证：△ABD≌△BAH；（2）若∠BAC＝30°，AE＝2，求BC的长；（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是AC上的一点，且∠ABD＝20°，若BC＝6，请你直接写出AD的长．21．已知∠MON＝90°，OC为∠MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PB⊥PA．（1）若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：PA＝PB；（2）若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（1）的前提下，以图3中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设直线PA与x轴交于D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，0），求直线DE的函数解析式． 参考答案1．解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴AD＝AM，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；故选：D．2．解：∵BA＝BC，BH是角平分线，∴BH⊥AC，AH＝CH，∴PA＝PC，故①正确，∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，∵•AB•CD＝•AC•BH，∴CD＝＝，∴PA+PD的最小值为，故③正确，如图，过点P作PT⊥AB于T．在△PAT和△PAH中，，∴△PAT≌△PAH（AAS），∴AT＝AH＝6，PT＝PH，设PT＝PH＝x，在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，故选：A．3．解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABD+∠BDE，∴2∠ABD+2∠BDE+∠A＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴2∠BDE＝90°，∴∠BDE＝45°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠FDE＝∠FED＝45°，故②正确，延长EF交BC于H，连接HD．∵∠FBE＝∠FBH，BF＝BF，∠BFE＝∠BFH，∴△BFE≌△BFH（ASA），∴EF＝FH，∵DF⊥EH，∴DE＝DH，∴∠DEH＝∠DHE＝45°，∵∠DFH+∠DCH＝180°，作FT⊥CD于T，FN⊥BC于N，利用全等三角形的性质证明FT＝FN，推出FC平分∠BCD∴∠DCF＝∠DHF＝45°，∴∠FCB＝45°，解法二：连接AF，证明AFE和AFD全等，F为内心．故③正确，作DM⊥AB于M，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，∴DM＝DC＝4，∵AE＝AD＝5，∴S△ADE＝•AE•DM＝10，故④正确，如果①成立，则∠CFB＝∠ADB，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠A＝∠BCF＝45°，但是题目没有说明三角形ABC为等腰直角三角形，所以①不成立．，故①错误，故选：C．4．证明：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2故选：D．5．解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是若a2＞b2，则a＞b，是假命题，例如（﹣2）2＞02，而﹣2＜0，故本选项说法错误，不符合题意；C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项说法错误，不符合题意；故选：C．6．解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：C．7．解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说法正确；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，本小题说法正确；故选：B．8．解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．故选：A．9．解：∵AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠C＝∠FAG＝45°， BC＝AB，由旋转性质可知△ABH≌△ACE，∴∠ABH＝∠ACE＝45°，BH＝CE，，AH＝AE，∠BAH＝∠CAE，∠HBD＝∠ABH+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴BH⊥BC，故①正确；∵∠BAH＝∠CAE，∴∠BAH+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠FAG＝45°，即∠DAH＝45°，∴∠DAH＝∠DAE，在△ADH和△ADE中，，∴△ADH≌△ADE（SAS），DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，∴AD平分∠HDE，故②正确；在Rt△BDH中，BD2+BH2＝DH2，∵BH＝CE，DH＝DE，∴BD2+BH2＝DH2，当BD＝3，CE＝4时，32+42＝DE2，DE＝5，∴BC BD+DE+CE＝12，BC＝AB＝12，∴AB＝6，故③正确；∵BA＝BE，∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠BEA＝67.5°，∴∠ADE＝∠BEA，∠ADB＝180°﹣∠ADE，∠AEC＝180°﹣∠BEA，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，BD2+CE2＝DE2，∴DE＝BD，设A到BC边距离为h，，，∴，∴，故④错误；综上①②③正确，故选：C．10．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，故①正确；在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF，在Rt△ABH和Rt△DCF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，故②正确；∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5°＝22.5°+∠AEF，∴∠AEF＝45°，故④正确；∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴DF＝DE，故③正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤错误，∴正确的是①②③④，故选：C．11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC，DH⊥AC，∴AH＝HC，∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠ACF＝90°，AD＝2DH，∵AD＝2CF，∴DH＝CF，在△DHE和△FCE中，，∴△DHE≌△FCE（AAS）∴EH＝EC，∴EC＝EH＝CH＝AH，∵AE＝24，∴EH＝EC＝8．故答案为8．12．解：设CE＝x，∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，在Rt△BCE中，∵BE²＝BC²+CE²，∴（3+x）²＝4²+x²，解得：x＝，∴BE＝3+＝，故答案为：．13．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∵△BCE是△DBC沿BC翻转得到得，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，CE＝BC＝，过E作EH⊥AC交CA的延长线于H，易证△CEH≌△DCG，△DBF≌△DCG，∴EH＝CG，BF＝CG，∵四边形AFDG和四边形BECD是正方形，∴AF＝AG，设BF＝CG＝x，则AF＝4﹣x，AG＝3+x，∴4﹣x＝3+x，∴x＝，∴EH＝CG＝，∴△ACE的面积＝×3＝，故答案为：．14．解：连接OB、OC，∵AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，∴点O是△ABC的外心，∠BAO＝∠CAO＝32°，∠ABC＝∠ACB＝58°，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝32°，∴∠OBC＝∠OCB＝26°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴EC＝EO，∴∠EOC＝∠ECO＝26°，∴∠OEC＝180°﹣26°﹣26°＝128°，故答案为：128．15．（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．16．（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a，∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝×a＝a．解法二：如答图1b．∵CB＝a，CE＝2a，∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a，∵△ABM≌△FDM，∴BM＝DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM＝ME＝BE＝a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF＝AG，∴BM＝ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2+45°＝135°∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°，∴AB∥CF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，BM＝DM，∴AB＝BC＝DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM＝DM，∴BM＝ME＝BD，故BM＝ME．17．解：（1）∵（a+1）2+＝0，∴a+1＝0，b+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣3，故答案为：﹣1；﹣3；（2）OB＝OC，证明如下：如图，过O作OF⊥OE，交BE于F，∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，∴△EOF为等腰直角三角形，∴∠EOC+∠DOF＝∠DOF+∠FOB＝90°，∴∠EOC＝∠FOB，且∠OEC＝∠OFB＝135°，在△EOC和△FOB中，，∴△EOC≌△FOB（ASA），∴OB＝OC；（3）∵△EOC≌△FOB，∴∠OCE＝∠OBE，OB＝OC，在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（ASA），∴OD＝OA，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OD＝1，OC＝3，∴D（0，﹣1），B（3，0），设直线BE解析式为y＝kx+b，把B、D两点坐标代入可得，解得．∴直线BE的解析式为y＝x﹣1．18．解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．∴DB＝BA．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG＝BC．∵BE＝EC，∠BEC＝60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC＝BE，∠CBE＝60°．∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF＝EF．（3）猜想：DF＝FE．过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB＝90°．∵DA＝DB，∴AH＝BH，∠1＝∠HDB．∵∠ACB＝90°，∴HC＝HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE＝90°．∵∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，∴∠HDB＝∠BEH＝∠ABC．∴∠DBC＝∠DBH+∠ABC＝∠DBH+∠HDB＝90°，∠EBH＝∠EBK+∠ABC＝∠EBK+∠BEK＝90°．∴DB∥HE，DH∥BE．∴四边形DHEB是平行四边形．∴DF＝EF．19．（1）证明：∵AB∥CD，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2+BC2＝100，AC2＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8﹣4t，∵∠NAB+∠ABN＝90°，∠ABN+∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴＝，即＝，解得t＝；（3）分为三种情况：①如图1所示，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8﹣4＝4cm，∴t＝4秒；②如图2所示，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴＝，即＝，解得CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8﹣6.4＝1.6cm，∴t＝1.6秒；③如图3所示，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴＝，即＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8﹣2.5＝5.5cm，∴t＝5.5秒．综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．20．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD是BC上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝，∵MN垂直平分线AB，∴BO＝AO，∴∠HBA＝∠DAB，∵AH⊥BE，AD⊥BC，∴∠H＝∠ADB＝90°，在△ABH和△BAD中，，∴△ABH≌△BAD（AAS）；（2）如图1所示：∵∠BAC＝30°，∴∠BAD＝＝，又∵∠HBA＝∠DAB∴∠HBA＝15°，又∵∠HBA+∠HAB＝90°，∴∠HAB＝75°，又∵∠HAB＝∠BAE+∠EAH，∴∠EAH＝45°，在Rt△AEH中，由勾股定理得：2AH2＝AE2，又∵AE＝2，∴AH＝，∴BD＝，又∵BC＝2BD，∴BC＝；（3）过点A作AE⊥BC，AH垂直于BD的延长线于点H，如图2所示：由（1）可知BE＝AH，∵BC＝6，∴AH＝3，又∵∠ADH＝∠ABH+∠BAD，∠ABD＝20°，∠BAD＝40°，∴∠ADH＝60°，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2＝AH2+DH2，又∵∠DAH＝30°，∴AD＝2DH，∴AD＝．21．（1）证明：如图1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，∵OC平分∠MON，∴PQ＝PR，∵∠APB＝∠QPR＝90°，∴∠APQ＝∠BPR，∵∠PQA＝∠PRB＝90°，∴△PQA≌△PRB．∴PA＝PB．（2）解：如图2中，结论仍然成立．理由：作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，∵OC平分∠MON，∴PQ＝PR，∵∠APB＝∠QPR＝90°，∴∠APQ＝∠BPR，∵∠PQA＝∠PRB＝90°，∴△PQA≌△PRB．∴PA＝PB．（3）解：如图3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，同理可得：△PQA≌△PRB．∴QA＝RB，PQ＝PR，设QA＝RB＝x，PR＝OQ＝OA﹣QA＝6﹣x．PQ＝OR＝OB+BR＝2+x，∴6﹣x＝2+x，∴x＝2，∴P（4，4），设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PA的解析式为y＝﹣x+6．由y＝0，解得x＝12，∴D（12，0），同理可得E（0，﹣4），∴直线DE的解析式为y＝x﹣4．
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