吉林省长白山保护开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 （word版 含答案）

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吉林省长白山保护开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题（每题2分，共12分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±13．抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（　　）A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）4．把抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　）A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣15．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（　　）A．b＝﹣1 B．b＝﹣2 C．b＝﹣3 D．b＝06．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）“打开电视机，它正在播广告”这个事件是　 　事件（填“确定”或“随机”）．8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是　 　．9．（3分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为　 　．10．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a＝　 　．11．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝　 　．12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是　 　．13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　 　．14．（3分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于　 　．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）解方程：x2﹣6x﹣9＝016．（5分）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．17．（5分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度，用6小时到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不可能低于多少？18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛．（1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．（7分）据调查，长白山池北区某家快递公司今年9月份完成投递的快件总量为10万件，11月份完成投递的快件总量为14.4万件．求该公司从今年9月份至11月份完成投递快件总量的月平均增长率．22．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中△A2BC2的面积．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．24．（8分）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为　 　cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝　 　s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A的坐标；（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共12分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次项系数不为零．3．抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（　　）A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）【分析】根据题目中的函数解析式可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+3）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．把抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　）A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣1【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并确定出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（　　）A．b＝﹣1 B．b＝﹣2 C．b＝﹣3 D．b＝0【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4＞0，然后对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4＞0，则b2＞4，所以b的值可取﹣3．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）A． B． C． D．【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选：D．【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）“打开电视机，它正在播广告”这个事件是　随机　事件（填“确定”或“随机”）．【分析】随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义可以作出判断【解答】解：“打开电视机，它正在播广告”这个事件是随机事件．故答案为：随机．【点评】本题主要考查了随机事件，解题的关键是熟记在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是　（3，﹣2）　．【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），故答案为（3，﹣2）．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．9．（3分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为　6　．【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】解：扇形的面积＝＝6π．解得：r＝6，故答案为：6【点评】此题主要考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题关键．10．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a＝　2　．【分析】把x＝﹣2代入x2+3x+a＝0中得到关于a的方程，然后解此方程即可．【解答】解：把x＝﹣2代入x2+3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝　3　．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE＝60°，AB＝AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE＝3即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝60°，AB＝AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是　105°　．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠DAB＝105°．故答案为：105°【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　（﹣2，0）　．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．14．（3分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于　﹣4　．【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．【解答】解：∵△POM的面积等于2，∴|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）解方程：x2﹣6x﹣9＝0【分析】利用配方法解方程．【解答】解：x2﹣6x＝9，x2﹣6x+9＝18，（x﹣3）2＝18，x﹣3＝±3，所以x1＝3+3，x2＝3﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．16．（5分）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案；（2）根据y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，），可得答案．【解答】解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得m2+1＝2且m﹣1≠0．解得m＝﹣1；（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，对称轴为直线x＝﹣＝1，顶点坐标为（1，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的性质：y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，），注意二次项的系数不能为零是解题关键．17．（5分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度，用6小时到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不可能低于多少？【分析】（1）利用路程＝平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；（2）结合该司机必须在4个小时之内回到甲地，进而得出速度最小值．【解答】解：（1）由题意可得：两地路程有：80×6＝480（km），故汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系为：v＝；（2）由题意可得：4v≥480，解得：v≥120．答：返程时的速度不能低于120km/h．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据路程＝平均速度×时间得出函数关系是解题关键．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）【分析】由∠B＝45°，AC＝AB，得到∠C＝45°，因此∠BAC＝90°，又因为AB是⊙O的直径，得到OA⊥AC．【解答】解：AC是⊙O的切线．证明如下：∵∠B＝45°，AC＝AB，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，而AB是⊙O的直径，∴OA⊥AC，所以AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了圆的切线的判定方法．若直线与圆有唯一的公共点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛．（1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之和为偶数的情况数，求出小丽去参赛的概率；（2）由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率，比较即可得到游戏公平与否．【解答】解：（1）法1：根据题意列表得：由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种，分别是（2，4）、（3，5）、（4，2）、（5，3），所以小丽参赛的概率为＝；法2：根据题意画树状图如下：由树状图可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种，分别是（2，4）、（3，5）、（4，2）、（5，3），所以小丽参赛的概率为＝；（2）游戏不公平，理由为：∵小丽参赛的概率为，∴小华参赛的概率为1﹣＝，∵≠，∴这个游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x＝﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，∴4b2﹣4a2+4c2＝0，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．21．（7分）据调查，长白山池北区某家快递公司今年9月份完成投递的快件总量为10万件，11月份完成投递的快件总量为14.4万件．求该公司从今年9月份至11月份完成投递快件总量的月平均增长率．【分析】设该公司从今年9月份至11月份完成投递快件总量的月平均增长率为x，根据该公司今年9月份及11月份完成投递快件的总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该公司从今年9月份至11月份完成投递快件总量的月平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该公司从今年9月份至11月份完成投递快件总量的月平均增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中△A2BC2的面积．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2和C2即可；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2BC2的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，4）；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）△A2BC2的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×3×2＝3.5．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【解答】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，∴∠BCD＝∠BAC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD；（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122，解得R＝13．答：⊙O的半径为13cm．【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，关键是根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相解答．24．（8分）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，综上所述：y＝；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为直线x＝45，当x＝45时，y最大＝﹣2×452+180×45+2000＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；【点评】本题考查了二次函数的应用，理解利润的计算方法，理解利润＝每件的利润×销售的件数，是关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为　2x　cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝　1　s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【分析】（1）利用速度×时间可求解；（2）根据等边三角形的性质可得∠A＝60°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解；（3）利用勾股定理可求解PQ的长，再结合等边三角形的性质可求解y与x的函数关系式．【解答】解：（1）由题意得AP＝2x，故答案为2x；（2）如图，∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4cm，∴∠ACB＝∠A＝60°，当Q与C重合时，△ACP为直角三角形，∠ACP＝30°，∴AP＝AC＝2，即2x＝2，解得x＝1，故答案为1；（3）当0＜x≤1时，在Rt△APQ中，PQ＝，∵△PQD为等边三角形，∴y＝3PQ＝．即y＝（0＜x≤1）．当1＜x≤2时，BP＝6﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（6﹣2x）＝12﹣4x，在Rt△BPQ中，PQ＝＝，∵△PQD为等边三角形，∴y＝3PQ＝，即y＝（1＜x＜2）．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，列函数关系式，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A的坐标；（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．【分析】（1）根据OC＝3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y＝ax2+2ax+c，即可求出函数解析式；（2）根据抛物线的轴对称性质来求点A的坐标；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点D的纵坐标，结合三角形的面积公式写出函数关系式，然后由二次函数最值的解答方法求解．【解答】解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）由抛物线y＝ax2+3ax+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣和B（1，0）知，抛物线与x轴的另一交点坐标A（﹣4，0）；（3）设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为（0，m2+m﹣3）．∵A（﹣4，0），∴OA＝4．∴s＝OA•|yD|＝×|m2+m﹣3|＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+．即：s＝﹣（m+）2+（﹣4＜m＜0）．∴当m＝﹣时，s的最大值是．【点评】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是：（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用抛物线的轴对称性质求得点A的坐标；（3）利用三角形的面积公式找出s与m的函数关系式．时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x第一次第二次23452﹣﹣﹣（3，2）（4，2）（5，2）3（2，3）﹣﹣﹣（4，3）（5，3）4（2，4）（3，4）﹣﹣﹣（5，4）5（2，5）（3，5）（4，5）﹣﹣﹣时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x