吉林省松原市前郭县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

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吉林省松原市前郭县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣3）2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝253．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）A．30° B．45° C．90° D．135°4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　）A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜05．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（　　）A．2 B．4 C．4 D．86．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（　　）A．π米 B．2π米 C．米 D．米二、填空题：（每小题3分，共24分）7．（3分）抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是直线x＝　 　．8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．9．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是　 　m．10．（3分）若双曲线y＝与直线y＝2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值是　 　．11．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1　 　y2．12．（3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．13．（3分）如图，点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为　 　．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC＝　 　．三、解答题（每题5分，共20分）15．（5分）解方程：5（3x﹣1）2＝2（1﹣3x）．16．（5分）已知方程x2﹣（m﹣3）x﹣3m＝0有一个根为4，求它的另一个根．17．（5分）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．18．（5分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是　 　；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？20．（7分）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？21．（7分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．（1）试确定所在圆的圆心O；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圆片的半径R．（结果保留根号）22．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．五、解答题：（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙于点D，且BD∥OC，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝OC＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．24．（8分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．六、解答题：（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿若A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒．（1）填空：当点M在AC上时，BN＝　 　（用含t的代数式表示）；（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S和t的函数关系式．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y＝﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y＝﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣3）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3），故选：C．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）A．30° B．45° C．90° D．135°【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　）A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．故选：D．【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（　　）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．6．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（　　）A．π米 B．2π米 C．米 D．米【分析】先根据题意画出图，然后再利用弧长公式计算．【解答】解：如图所示：AD＝（3+0.5）﹣2＝1.5，因为cos∠2＝＝1.5÷3＝，所以∠2＝60°，∠BAC＝120°．该秋千所荡过的圆弧长为×3×π＝2π．故选：B．【点评】根据勾股定理求出各边长，利用三角函数求出圆心角度数，根据弧长公式求出弧长．二、填空题：（每小题3分，共24分）7．（3分）抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是直线x＝　﹣1　．【分析】根据求对称轴的公式，直接求解．【解答】解：∵a＝2，b＝4，∴抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是．【点评】考查抛物线对称轴的确定．8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣且k≠0　．【分析】利用判别式，根据不等式即可解决问题；【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案为k≥﹣且k≠0．【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．9．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是　10　m．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：令函数式y＝﹣x2+x+中，y＝0，0＝﹣x2+x+，整理得：x2﹣8x﹣20＝0，（x﹣10）（x+2）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．10．（3分）若双曲线y＝与直线y＝2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值是　1　．【分析】根据交点的横坐标，代入直线解析式，可得交点的纵坐标，根据交点的坐标，待定系数法，可得反比例函数的解析式中的k值．【解答】解：将x＝﹣1代入直线y＝2x+1得，y＝﹣2+1＝﹣1，则交点坐标为（﹣1，﹣1），将（﹣1，﹣1）代入y＝得，k＝﹣1×（﹣1）＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，先求出点的坐标，再求出反比例函数的解析式中的k值．11．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1　＞　y2．【分析】先确定对称轴是：x＝1，由知a＝﹣1，抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小，根据横坐标3＞2得：y1＞y2．【解答】解：∵二次函数对称轴为：x＝1，a＝﹣1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵3＞2＞1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，明确二次函数的增减性：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大； ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小．12．（3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了　6　个人．【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有49个人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，解得：x1＝6，x2＝﹣8（舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（3分）如图，点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为　8　．【分析】由A，B为双曲线上的两点，利用反比例系数k的几何意义，求出矩形ACOG与矩形BEOF面积，再由阴影DGOF面积求出空白面积之和即可．【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6，∵S阴影DGOF＝2，∴S矩形ACDF+S矩形BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8，故答案为：8【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC＝　70°　．【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB＝20°，∠ACB＝90°，计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．三、解答题（每题5分，共20分）15．（5分）解方程：5（3x﹣1）2＝2（1﹣3x）．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：5（3x﹣1）2＝2（1﹣3x），5（3x﹣1）2+2（3x﹣1）＝0，则（3x﹣1）（15x﹣5+2）＝0，∴3x﹣1＝0或15x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（5分）已知方程x2﹣（m﹣3）x﹣3m＝0有一个根为4，求它的另一个根．【分析】直接把4代入方程即可求得m的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【解答】解：把4代入已知方程得：42﹣（m﹣3）4﹣3m＝0，解得m＝4，∴两根之积为﹣3m＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点评】此题首先求出方程待定系数m，然后利用两根之积为，其符号不要出现错误．17．（5分）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．18．（5分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是　　；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小明从A测温通道通过的概率是，故答案为：；（2）列表格如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？【分析】设售价应定为每件x元，则每件获利（x﹣40）元，月内售量为[500﹣（x﹣50）×10]件，由“月内赚取8000元的利润”作为相等关系列方程得：[500﹣（x﹣50）×10]（x﹣40）＝8000，解方程即可得解．【解答】解：设售价应定为每件x元，则每件获利（x﹣40）元，由题意得[500﹣（x﹣50）×10]（x﹣40）＝8000．化简得x2﹣140x+4800＝0，解得x1＝60，x2＝80．因为要使顾客得到实惠，所以售价取x＝60．答：售价应定为每件60元．【点评】此题的等量关系：月内利润＝每件获利×月内售量．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．20．（7分）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）直接求出BN，CN的长，进而求出BC的长，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1＝2，即k＝1，∴一次函数解析式为y＝x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m＝2，∴反比例解析式为y＝；（2）∵N（3，0），∴点B横坐标为3，将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝，即CN＝，BC＝4﹣＝，A到BC的距离为：2，则S△ABC＝××2＝．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（7分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．（1）试确定所在圆的圆心O；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圆片的半径R．（结果保留根号）【分析】（1）根据垂径定理，作DO⊥AB．DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；（2）连接AO．根据AB＝AC，AO过圆心，依据垂径定理推论，可判断AO⊥BC，根据勾股定理求半径．【解答】解：（1）作DO⊥AB．DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；（2）设半径为r．连接OA，因为BA＝AC，故AO⊥BC．所以：CD＝×10＝5，AD＝＝．根据勾股定理，（r﹣）2+52＝r2，解得r＝．【点评】此题是一道实际问题，将圆的相关知识和勾股定理结合，有一定的开放性，可以作出图形，根据勾股定理和垂径定理解答．22．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是y＝a（x﹣5）2+5（3分）把（0，1）代入y＝a（x﹣5）2+5得a＝﹣（5分）∴y＝﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（6分）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分）∴4＝﹣（x﹣5）2+5∴（x﹣5）2＝1∴x1＝，x2＝（9分）∴两景观灯间的距离为﹣＝5米．（10分）【点评】此题考查对抛物线等二次函数的应用，从图中可以看出的坐标是解题的关键．五、解答题：（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙于点D，且BD∥OC，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝OC＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【分析】（1）连接OD，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于CD，再由OC与BD平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA＝OD，OC＝OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形DOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC＝∠ODC＝90°，即可得证；（2）由OD＝OB＝DB得到三角形ODB为等边三角形，求出∠DOB＝60°，根据图中阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△DOB的面积解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵BD∥OC，∴∠AOC＝∠OBD，∠COD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOC＝∠COD，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC（SAS），∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴AC与圆O相切；（2）解：∵AB＝OC＝4，OB＝OD，∴OA＝OC，∴∠AOC＝30°，∵△AOC≌△DOC，∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，∴∠DOC＝∠COA＝60°，∴∠DOB＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，过点D作OE⊥BD，垂足为点E，∠EOD＝30°，∵直径AB＝4，∴BD＝OD＝2，DE＝1，∴OE＝＝＝，∴图中阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△DOB的面积＝﹣×2×＝﹣．【点评】此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．24．（8分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【分析】（1）由AB＝BC得到∠A＝∠C，再根据旋转的性质得AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE＝BF；（2）根据等腰三角形的性质得∠A＝∠C＝30°，利用旋转的性质得∠A1＝∠C1＝30°，∠ABA1＝∠CBC1＝30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB＝BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【解答】解：（1）BE＝BF．理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE＝BF（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A1＝∠C1＝30°，∵∠ABA1＝∠CBC1＝30°，∴∠ABA1＝∠A1，∠CBC1＝∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．六、解答题：（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿若A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒．（1）填空：当点M在AC上时，BN＝　2﹣t　（用含t的代数式表示）；（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S和t的函数关系式．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质知AB＝2，MN＝AM＝t，AN＝AM＝t，据此可得；（2）先得出MN＝DM＝4﹣t，BP＝PN＝t﹣2，PE＝4﹣t，由勾股定理得出NE＝，再分DN＝DE，DN＝NE，DE＝NE三种情况分别求解可得；（3）分0＜t＜2和2≤t＜4两种情况，其中0＜t＜2重合部分为直角梯形，2≤t＜4时重合部分为等腰直角三角形，根据面积公式得出面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝2，∵AM＝t，∠AMN＝90°，∴MN＝AM＝t，AN＝AM＝t，则BN＝AB﹣AN＝2﹣t，故答案为：2﹣t．（2）如图2，∵AM＝t，AC＝BC＝CD＝2，∠BDC＝∠DBE＝45°，∴DM＝MN＝AD﹣AM＝4﹣t，∴DN＝DM＝（4﹣t），∵PM＝BC＝2，∴PN＝2﹣（4﹣t）＝t﹣2，∴BP＝t﹣2，∴PE＝BE﹣BP＝2﹣（t﹣2）＝4﹣t，则NE＝＝，∵DE＝2，∴①若DN＝DE，则（4﹣t）＝2，解得t＝4﹣；②若DN＝NE，则（4﹣t）＝，解得t＝3；③若DE＝NE，则2＝，解得t＝2或t＝4（点N与点E重合，舍去）；综上，当t＝4﹣或t＝3或t＝2时，△DNE是等腰三角形．（3）①当0＜t＜2时，如图3，由题意知AM＝MN＝t，则CM＝NQ＝AC﹣AM＝2﹣t，∴DM＝CM+CD＝4﹣t，∵∠ABC＝∠CBD＝45°，∠NQB＝∠GQB＝90°，∴NQ＝BQ＝QG＝2﹣t，则NG＝4﹣2t，∴S＝•t•（4﹣2t+4﹣t）＝﹣t2+4t．②当2≤t＜4时，如图4，∵AM＝t，AD＝AC+CD＝4∴DM＝AD﹣AM＝4﹣t，∵∠DMN＝90°，∠CDB＝45°，∴MN＝DM＝4﹣t，∴S＝（4﹣t）2＝t2﹣4t+8，综上，S＝．【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及二次函数性质的应用等知识点．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y＝﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y＝﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．【分析】（1）根据当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据矩形的判定，可得答案．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝c，即（0，c）．由当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，﹣2）．由勾股定理，得AB＝＝；（3）如图：四边形ABCN是矩形，，证明：∵M是AC的中点，∴AM＝CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM＝MN，∴四边形ABCN是平行四边形，又∵AB＝，BC＝3，AC＝2，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCN是矩形．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．ABCAA，AB，AC，ABA，BB，BC，BCA，CB，CC，C