高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试学案

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2009年暑假数学课外辅导(必修4)第三章 三角恒等变换一、基本内容串讲本章主干知识：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换。1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。这6个公式的联系为：C(α－β)C(α＋β) T(α－β)T(α＋β)S(α－β)S(α＋β) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. ..要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。3．简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（ B ）A. B. C. D.2、若，，则等于（ D ）A. B. C. D.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于（ A ）A． B． C．2 D．44、 已知，且，那么等于（ D ）A. B. C. D.考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知则的值等于 （ B ）（A） （B） （C） （D）6、已知则值等于（ C ）（A） （B） （C） （D） 7、函数是（ C ）（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数（C） 周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（ ）A. B. C. D.【解析】: 由于故选C。【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：：sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2． 已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．【解析】：由于＜β＜α＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜．∴ cos（α+β）=－，sin（α－β）=．∴ sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）=（－）·+（－）· =－．【点评】：本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，将2α表示为2α=（α－β）+（α+β）。 例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．【解析】：原式=［2sin50°+sin10°（1+）］·=［2sin50°+sin10°（）］·=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）=2sin60°=．【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。【解析】：由 `解得，∴ ====－17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若求的取值范围。【解析】：令，则即∴ ，即【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量 ，，函数（1）若且，求的值；（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角．【解析】：∵＝（1）由得即∵ 　　　　∴或 ∴或 （2）∵＝∴，当时，由得，　　　∴【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1．sin165º= （ ） A． 　 B． C． D． 2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． B． C． D．3．已知，，则（ ） A． B． C． D．4．化简2sin（－x）·sin（+x），其结果是（　　　）　Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．－cos2x　　　Ｄ．－sin2x 5．sin—cos的值是 （ ）A．0 B． — C． D． 2 sin6．A． B． C． D．7．若，，则角的终边一定落在直线（ ）上。A． B． C． D．8．9．＝ 10．的值是 .11．求证：． 12．已知，求的值．13．已知求的值。14．若,且, 求的值。15．设的周期为,最大值.求的值;若为方程的两根,且的终边不共线,求的值.第三章 三角恒等变换参考答案1-7 DBDB B C D 7提示：∵， ∴=，=，则角的终边上一点为P（，），它在直线上。8、cos； 9、； 10、11．证明：左边右边，原式得证．12．解：由得．这是一个关于的方程，解此方程可求得=．13．解：， 而 。14．解法一：由或∵知舍去，故解法二：由 = 1 \* GB3 ① 得，∴∴，∴，∵，∴>0，从而 = 2 \* GB3 ②，联立 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②解得 故15．解：(1) ，，，又 的最大值， ① ， 且  = 2 \* GB3 ②，由 ①、 = 2 \* GB3 ②解出 a=2 , b=.(2) ， ，， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， .2009年暑假数学课外辅导(必修4)第三章 三角恒等变换一、基本内容串讲本章主干知识：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换。1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. ..要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。3．简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（ ）A. B. C. D.2、若，，则等于（ ）A. B. C. D.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于（ ）A． B． C．2 D．44、 已知，且，那么等于（ ）A. B. C. D.考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知则的值等于 （ ）（A） （B） （C） （D）6、已知则值等于（ ）（A） （B） （C） （D） 7、函数是（ ）（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数（C） 周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（ ）A. B. C. D.【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：：sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2． 已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若求的取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量 ，，函数（1）若且，求的值；（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角．四、课堂练习1．sin165º= （ ） A． 　 B． C． D． 2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． B． C． D．3．已知，，则（ ） A． B． C． D．4．化简2sin（－x）·sin（+x），其结果是（　　　）　Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．－cos2x　　　Ｄ．－sin2x 5．sin—cos的值是 （ ） A．0 B． — C． D． 2 sin6． A． B． C． D．7．若，，则角的终边一定落在直线（ ）上。A． B． C． D．8． 9．＝ 10．的值是 .11．求证：． 12．已知，求的值．13．已知求的值。14．若,且, 求的值。15．设的周期为,最大值.求的值;若为方程的两根,且的终边不共线,求的值.