高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算导学案

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§2.2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 学习过程一、课前准备（预习教材P87—P90）复习： 向量减法的几何意义是什么？二、新课导学※ 探索新知探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量，作出：①；②.通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？ 1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=___________________________________; （2）当_________时，的方向与的方向相同；当_______时，的方向与方向相反，当_________时，=。问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向量数乘运算律，设为实数。（1）_______； （2）_________； （3）_________；（4）________=___________； （5）______________；（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________。问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线（平行）的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得 。　 对此定理的证明，是两层来说明的：　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.※ 典型例题例1、计算：⑴； ⑵； ⑶.例2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：例3、已知两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.例4、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？ 三、小结反思（1）与的积还是向量，与是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、=___________。 =________ _。= ； =______ ___。2、在中，、分别是、的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D.3、点C在线段AB上，且，则。4、设是两个不共线向量，若，与共线，则实数的值为 .5、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为 课后作业1. 中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.2、若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.