数学必修4第三章 三角恒等变换综合与测试复习ppt课件

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第三章三角函数、解三角形高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号．4．理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．终边相同的角(1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合____________________________ 或____________________________ ．(2)终边相同的角的同一三角函数的值 __________，即sin(α＋k·2π)＝ __________ (其中k∈Z)；cos(α＋k·2π)＝ __________ (其中k∈Z)；tan(α＋k·2π)＝ __________ (其中k∈Z)．2．弧长及扇形的面积公式知 识 梳 理{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}sinαcosαtanα相等3．三角函数的定义已知P(x，y)是角α终边上任一点，|OP|＝r，则4.各象限角的三角函数值的符号可用口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断．5．三角函数线图1图中有向线段MP、OM、AT分别表示 _________、 _________、 _________． 正弦线余弦线正切线课 前 自 测1．点P(tan2007°，cos2007°)位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：∵2007°＝360°×6－153°，∴2007°与－153°的终边相同，∴2007°是第三象限角，∴tan2007°>0，cos2007°<0.∴P点在第四象限，故选D.答案：D2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在(　　)A．x轴上 B．y轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x轴重合．答案：A3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A．1或4 B．1C．4 D．8答案：A4．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．5．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵a＝－sin1，b＝cos1，c＝－tan1，∴a<0，b>0，c<0.又∵sin1－tan1，∴c0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．[思维拓展]　涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．即时训练： 已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB的长．　热点之三　　三角函数的定义1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值．[例3]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路探究]　本题求α的三角函数值．依据三角函数的定义，可在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，求出r，由定义得出结论．答案：A　热点之四　　三角函数的符号判定1．判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限．2．对于已知三角函数的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．[例4]　(1)判断下列各式的符号：①sin340°·cos265°；②sin4·tan.(2)判断下列各式中角α的终边所在的象限．①sinα·tanα<0；②tanα>0且sinα＋cosα>0.[思路探究]　确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析因式的符号，则关键是看角所在的象限．[课堂记录]　(1)①∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°<0，cos265°<0，∴sin340°·cos265°>0.答案：(1)二、四　(2)2高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 三角函数的概念是三角函数的基础，也是高考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一，试题经常出现且多为选择题、填空题，难度一般不高，主要考查角的范围，判定三角函数值的符号．经 典 考 题[答案]　A自 主 体 验1．(2008·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0，则α是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sinα<0且tanα>0得α是第三象限角，选C.答案：C2．(2007·北京卷)已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是(　　)A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角答案：C 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(16) 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： _________________；(2)商数关系：_________________；(3)倒数关系： _________________.2．sinα±cosα与sinα·cosα的关系(sinα±cosα)2＝ _________________ ；sinα·cosα＝____________________________________.知 识 梳 理sin2α＋cos2α＝1 tanα·cotα＝1 1±2sinα·cosα 3．诱导公式(填表)：α∈R，有sinαsinα－sinα－sinαcosαcosα－cosα－cosαtanαtanα－tanα－tanα－sinαcosαcosα－cosα－cosαcosαsinα－sinα－sinαsinα－tanα课 前 自 测答案：A答案：B答案：A答案：A答案：2热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型　热点之一　　同角三角函数基本关系的应用运用基本关系式可以求解两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明．该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及其变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要特别注意对符号的判断．　热点之二　　诱导公式的应用1．解决给角求值问题的一般步骤为：2．解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联系，然后恰当地选择诱导公式求解．[思维拓展]　诱导公式sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanα，其中2kπ是π的偶数倍若遇sin(kπ±α)，必须要对k的奇偶性进行讨论，但不论k是奇数还是偶数都有tan(kπ＋α)＝tanα.高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角函数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会涉及到这部分知识．在高考中除了和其他知识一起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常以小题形式出现．经 典 考 题自 主 体 验答案：B答案：A 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(17) 第三节三角函数的图象与性质1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π/2，π/2)内的单调性.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ________________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．知 识 梳 理f(x＋T)＝f(x)2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1} R[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]2kππ＋2kπ奇奇偶(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ课 前 自 测答案：D答案：C答案：D答案：>热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型　热点之一　　三角函数的定义域问题三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用．　热点之二　　三角函数的值域与最值问题求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数．提醒：换元后注意新元的范围．[课堂记录]　(1)∵cosx∈[－1,1]，∴当a＝0时，y＝b，无最值；当a>0时，函数的最大值为a＋b，最小值为－a＋b.当x＝2kπ，k∈Z时取得最大值．当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最小值．当a<0时，函数最大值为－a＋b，最小值为a＋b.当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最大值．当x＝2kπ，k∈Z时取得最小值．　热点之三　　三角函数的奇偶性与周期性问题1．三角函数奇偶性的判断：①首先看定义域是否关于原点对称；②在满足①的前提下看f(－x)与f(x)的关系．2．周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：①当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；②T是不为零的最小正数．一般地，若T为f(x)的周期，则nT(n∈Z)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x＋nT)．特别注意：a.最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的．b.不是所有的周期函数都有最小正周期．周期函数f(x)＝C(C为常数)就没有最小正周期．[例3]　(1)若三角函数y＝1－(sinx＋cosx)2，则该三角函数是最小正周期为________的________函数(第二个空填“奇”或“偶”)．(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π/2)满足f(1)＝0，则下列选项中正确的是(　　)A．f(x－1)一定是偶函数B．f(x－1)一定是奇函数C．f(x＋1)一定是偶函数D．f(x＋1)一定是奇函数[思路探究]　正弦型函数(或余弦型函数)的奇偶性、周期性一般是根据函数奇偶性、周期性的定义来判断的．[课堂记录]　(1)因为y＝1－(sinx＋cosx)2＝1－(sin2x＋cos2x＋2sinx·cosx)＝－sin2x，所以T＝2π/2＝π.又f(－x)＝－sin2(－x)＝sin2x＝－f(x)，故y为奇函数．(2)由f(1)＝0，知ω＋φ＝kπ(k∈Z)．当k是偶数时，f(－x＋1)＝Asin(－ωx＋ω＋φ)＝－Asinωx＝－f(x＋1)；当k是奇数时，f(－x＋1)＝Asin(－ωx＋ω＋φ)＝Asinωx＝－f(x＋1)，故f(x＋1)是奇函数，故选D.即时训练： (1)若函数f(x)＝sin2x－1/2 (x∈R)，则f(x)是(　　)A．最小正周期为π/2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数(2)(2007·安徽卷)定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为(　　)A．0 B．1C．3 D．5答案：(1)D　(2)D　热点之四　　三角函数的单调性问题[思路探究]　求f(x)的单调递减区间必须在定义域内求解．高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．经 典 考 题[解]　本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．[评析]　本题属于基础题目，关键整理出f(x)＝Asin(ωx＋φ)一定要小心谨慎，明确正弦型函数的单调性．自 主 体 验解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，f(－x)＝sin(－2x)＝－f(x)．答案：B 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(18) 第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2．图象变换(1)相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)把y＝sinx图象上所有的点向 __________ (φ>0)或向 __________ (φ<0)平行移动 __________ 个单位．(2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)把y＝sin(x＋φ)图象上各点横坐标变为原来的__________ 倍．(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标变为原来的 __________ 倍．知 识 梳 理振幅周期频率相位初相左右|φ|A3．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(A>0，ω>0)的图象可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或 __________ (当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标 __________ (当ω>1时)或 __________ (当0<ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 __________ (当A>1时)或 __________ (当00)⇒最大值A和最小值－A；(4)列出一个周期的五个特殊点．[思路探究]　欲画f(x)的图象求f(x)的周期和最大值，需把f(x)化成一个角的一个三角函数的形式．　热点之二　　三角函数的图象变换(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1,ω倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案：B2．如右图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(　　)A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．答案：A3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________ m.5．某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，则此人还需走________千米才能到达A城．答案：15热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型　热点之一　　测量距离问题有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等．由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷．[例1]　如右图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)[思维拓展]　解答过程中抓不住AD的桥梁作用导致无法求解，其原因是对题意不理解所致．热点之二　　测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．[例2]　如下图1所示，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为 m的球形工件吊起平放到高为6 m的平台上，工地上有一个吊臂DF长为12 m的吊车，吊车底座FG高1.5 m．当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？[思路探究]　本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角θ，即∠DFA，因此用θ来表示图中各边之长，再由导数法求其最值．即时训练： 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．　热点之三　　测量角度问题首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[思路探究]　根据题意和图形及方位角等概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要哪些量．即时训练： (2010·合肥质检一)如右图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点．该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点．同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向．经 典 考 题[例4]　(2009·海南、宁夏卷)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．自 主 体 验 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(23)