2020-2021学年第三章 三角恒等变换综合与测试复习课件ppt

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第三章不等式选讲第一节绝对值不等式与证明不等式的基本方法1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；(2)|a－b|≤|a－c|＋|b－c|(a，b，c∈R)．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．基本不等式知 识 梳 理3abca1＝a2＝…＝an2．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式的解法：①c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为Ø.|ax＋b|≥c的解集为R.(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法，解这类含绝对值的不等式的一般步骤：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．④这些解集的并集就是原不等式的解集．3．绝对值的三角不等式定理1：若a、b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：设a、b、c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a、c之间．推论1：||a|－|b||≤|a＋b|；推论2：||a|－|b||≤|a－b|.4．不等式证明的基本方法(1)比较法；(2)综合法与分析法；(3)反证法与放缩法．课 前 自 测1．若不等式|x＋1|＋|x－2|x2－3x－4的解集是________．解析：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2>0恒成立，∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4，即2x>－6，x>－3.∴原不等式的解集为(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)答案：B答案：B热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型　热点之一　　基本不等式的应用基本不等式主要用来证明不等式或求最值，注意“一正，二定，三相等”的前提条件．　热点之二　　绝对值三角不等式的应用证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．[例2]　设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证|f(2)|≤7.[思路探究]　由已知条件，x取特殊值0,1，－1时，有|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，可得a，b，c与f(2)的关系，进而可证|f(2)|≤7.即时训练： 已知|a|<1，|b|<1，试比较|a＋b|＋|a－b|与2的大小．解：当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|<2.当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－a＋b|＝2|b|<2.∴|a＋b|＋|a－b|<2.　热点之三　　含绝对值的不等式的解法此考点主要考查解含有参数的绝对值不等式，解此类题时要与函数相结合，必须对参数进行讨论，在讨论时要做到不重不漏．[思路探究]　本题属于|ax＋b|0)型不等式，可按此类不等式的常规方法求解，去掉绝对值符号后转化为不等式组，再对a进行分类讨论．即时训练： 解不等式|2x＋1|＋|x－2|>4.高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 本讲内容若单独命题，一般以解答题或填空题的形式出现，特别是与绝对值有关的解法，最值及证明问题是复习的重点，注意绝对值与函数、数列相结合的证明问题．经 典 考 题自 主 体 验1．(2010·陕西卷)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．解析：x≥2时，|x＋3|－|x－2|＝5，－3≤x<2时，|x＋3|－|x－2|＝2x＋1≥3⇒x≥1，x<－3时，|x＋3|－|x－2|＝－5，因此综上有|x－3|－|x－2|≥3的解集为{x|x≥1}．答案：{x|x≥1}2．(2010·福建卷)已知函数f(x)＝|x－a|.①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(64) 第二节柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式1.了解柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明．2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般形式．3．会用向量递归方法讨论排序不等式4．会用数学归纳法证明贝努利不等式．5．会用上述不等式证明一些简单问题．基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1．柯西不等式定理1：(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ __________ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立．定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤ _____ ，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．定理4.(一般形式的柯西不等式)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥ _________________________ ，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．知 识 梳 理(ac＋bd)2|α||β|(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)22．排序不等式定理：(排序不等式，又称排序定理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么 _____________________ ≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ _____________________ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．3．数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝ __________ 时命题成立；(2)假设当n＝ __________ (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝ __________ 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbnn0kk＋1课 前 自 测1．x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________．2．若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________．3．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k>0)，且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k＝________.答案：94．设x，y∈R，已知x2＋y2＝52，则2x＋3y的取值范围为________．解析：(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2，∴－26≤2x＋3y≤26.答案：[－26,26]答案：8热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型　热点之一　　柯西不等式的应用柯西不等式是非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可以使一些较困难的问题迎刃而解．[例1]　若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．[思维拓展]　利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此不能忘记检验等号成立的条件．热点之二　　排序不等式的应用在利用排序不等式证明有关问题时，必须构造出两个合适的有序数组，排序不等式的应用是考查的重点．[思维拓展]　应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．　热点之三　　用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明时，关键是利用n＝k的假设，且要注意两边的项数，用数学归纳法证明等式(或不等式)是高考考查的热点．高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直 指 考 向 本部分内容主要以数学归纳法为主，常与数列、函数、不等式相结合，为高考的重点、热点，而排序不等式和柯西不等式为新课标中新增内容，在高考中还未出现过，但不排除以后考查的可能性．经 典 考 题自 主 体 验　(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(65)