人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例教课内容ppt课件

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1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．向上方向下方(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)．①北偏东α°，即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°，即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．2．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题―→_________―→实际问题．3．解三角形应用问题的一般步骤如下：(1)准确理解题意，分清已知与所求．(2)根据题意画出示意图．(3)建立数学模型，合理运用___________________，正确求解，并作答． 数学问题正弦定理和余弦定理1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 (　　)A．α>β　　　　　　　B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：由仰角与俯角的定义可知α＝β.答案：B2．若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的 (　　)A．东偏北46° B．东偏北44°C．南偏西44° D．西偏南44°解析：画图即可解得．答案：C3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．4．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m．则这条河的宽度为________m.解析：因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120 m，答案：601．熟悉三角形中有关公式，如正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，有时也会用到周长公式和面积公式．2．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式等．3．解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形．这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，由几个三角形列出方程，解方程得出所要求的解．考点一　测量距离问题【案例1】　如图，南山上原有一条笔直的小路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处回头看索(即时巩固详解为教师用书独有)道，发现张角为160°.从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)关键提示：先在△ABD中求出AD的长，再在△ACD中求出AC的长．解：在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°，因为∠ADC＝160°，所以∠ADB＝20°，所以∠DAB＝40°.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝538.92＋8002－2×538.9×800×cos 160°≈1 740 653.8，所以AC≈1 319，即索道AC长约为1 319米. 点评：要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6 000，∠ACD＝45°，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6 000，∠BCD＝30°，又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理，实际所需电线长度约为1.2AB≈7 425.6(m)．考点二　测量高度问题【案例2】　(2011届·温州中学月考)如图，A、B是水平面上的两个点，相距800 m．在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD＝110°，又在B点测得∠ABD＝40°，其中D是点C在水平面上的垂足．试求山高CD.(精确到1 m)关键提示：这是一个立体图形，应把问题转化为△ACD中求CD边长的问题．【即时巩固2】　如图所示，在地面上有一旗杆OP.为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB＝20 m．在A处测得P点的仰角(∠OAP)为30°，在B处测得P点的仰角(∠OBP)为45°，又测得∠AOB＝60°.试求旗杆的高度．(精确到0.1 m)考点三　测量角度问题【案例3】　(2010·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．关键提示：(1)s表示成t的函数，求最小值；(2)v表示成t的函数求最小值；(3)转化为方程有两个不等正根．解：(1)设相遇时小艇航行距离为s海里．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，由题意可得(vt)2＝202＋(30t)2－2×20×30tcos 60°，所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上，所以∠CBD＝90°＋30°＝120°.所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．考点四　创新应用【案例4】　(2011届·合肥一中月考)如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁．船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°.该船航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°.如果该船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？关键提示：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小．于是我们只需先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得到答案．解：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.＝60cos 15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)【即时巩固4】　外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B之间的距离为s n mile，海岸线是过A、B的直线，一外国船只在P点，在A站测得∠BAP＝α，同时在B站测得∠ABP＝β，问α及β满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域？解：假设该外国船只距我国海岸线的距离为h(h>0)，则“发出警告”的数学含义是确定不等式h≤d，于是问题化归为用已知数表示h，即已知α、β、s，求h.