2020-2021学年第三章 不等式综合与测试教学课件ppt

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第六章 不等式不等式的证明第 讲3（第一课时）一、比较法 1.作差比较法要证不等式a＞b(或a＜b)，只需证a-b＞0(或a-b＜0)即可.其步骤为：作差→变形(常用变形方法有：通分，因式分解，配方等)→判断(各因式大于或小于0).2.作商比较法当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时可采用作商比较法.若b＞0,欲证a＞b,只需证 ＞1;欲证a＜b,只需证 ＜1.其步骤为：作商→变形→判断(大于或小于1).二、综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的基本性质推导出欲证的不等式(由因导果). 在证明时,还常要用到以下证题依据：1.若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a-b)2≥0.2.若a，b同号，则3.平方和不等式：若a，b∈R，则a2+b2≥4.均值不等式：若a，b均为正数，则若a，b∈R，则a2+b2≥2ab.5.倒数和不等式：若a，b均为正数，则三、分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“执果索因”.四、反证法假设所证不等式不成立，结合已知条件和不等式的基本性质推出一个矛盾的结论，从而得出所证不等式成立.五、用放缩法证明不等式经常用到的方法技巧有： 1. ①___ ②___ . 2. ③___ ④___ ； ⑤___ ⑥___ . =s.证明：题型1 用均值不等式证明不等式又因为R=1，S△ABC = ,所以abc=1.所以所以s≤t,且t=s的条件是a=b=c=1，此时S△ABC = 与已知矛盾.所以t>s.点评：本题考查均值不等式的应用.应用均值不等式证明时，注意构造成应用均值不等式的形式.已知a、b∈R+，求证：证明：因为a、b∈R+，所以2. 已知a＞0，b＞0，求证:证法1：因为a＞0，b＞0，所以所以 题型2 用比较法证不等式证法2:由于 且 所以有证法3:因为 所以 故点评：比较法分差值比较法与商值比较法两种，用比较法证不等式的关键在于作差(商)后的变形，注意因式分解、通分、配方等变形的运用，变形的方向就是有利于式子与0(或1)的比较.已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)，当实数p、q满足p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1.证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y2 =pqx2-2pqxy+pqy2=pq(x-y)2.充分性：若0≤p≤1，则q=1-p∈［0，1］，所以pq(x-y)2≥0，故pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).必要性：若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),则pq(x-y)2≥0.因为(x-y)2≥0，所以pq≥0，即p(1-p)≥0，所以0≤p≤1.综上所述，原命题成立.3. 已知a＞0，b＞0，c＞0，a，b，c不全相等，求证：证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以又因为a，b，c不全相等，所以上面三式不能全取等号，三式相加得 题型3 用综合法证不等式点评：本题所要证的式子是轮换式形式：即交换a，b，c的位置，题中条件和结论都不会变，此类题用综合法证明时，关键是先得到某两个(或多个)关系式之间的一个不等关系，再用同样的方法得到其他的不等式，然后再综合得出整个要证明的式子.已知x，y，z是互不相等的正数，且x+y+z=1，求证: 证明：因为x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以 ① ② 又因为0＜x＜1,所以 同理,将①②③三式相乘,得 ③已知函数f(x)=|1- |，若b＞a＞0，且f(a)=f(b)，证明：ab＞1. 证明：由已知，当x≥1时，f(x)=1- ; 当0＜x＜1时，f(x)= -1. 所以f(x)在(0，1］上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.因为b＞a＞0，f(a)=f(b)，所以0＜a＜1＜b，且 即 即a+b=2ab. 因为a＞0，b＞0，a≠b， 所以a+b＞2 ，从而2ab＞2 ＞0， 所以 ＞1，即ab＞1. 1. 作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断. 2. 综合法证明不等式，主要利用重要不等式，函数的单调性及不等式的性质，在严密的演绎推理下推导出结论.