高中人教版新课标A第三章 不等式综合与测试教学ppt课件

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第六章 不等式均值不等式第 讲2一、算术平均数与几何平均数定理1.若a＞0，b＞0，则称_______为两个正数的算术平均数，称_______为两个正数的几何平均数.2.如果a、b为实数，那么a2+b2≥2abab≤_______，当且仅当a=b时取“=”号. 3.如果a、b为正实数，那么 ≤_______，当且仅当a=b时取等号.如果a+b为定值P,那么ab有最____值，为____;如果ab为定值S,那么a+b有最___值,为____.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_____、_____、 _______.二、不等式恒成立问题不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在 _______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在 _______________.大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix1.若x,y∈R+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是( )A. 当且仅当x=y时，s有最小值B. 当且仅当x=y时，p有最大值C. 当且仅当p为定值时，s有最小值D. 若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值解：由均值不等式易得答案为D.D2.若x,y∈R+,x+y≤4,则下列不等式中成立的是( ) 解： 故选B.B3.设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( ) 解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断 不成立. D 解法2：可逐项使用均值不等式判断 不等式成立; B.因为 相乘得 成立;C.因为又由 得 所以 成立;D.因为 ，所以 所以 即 不成立,故选D.1. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由.解：不对.设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G. 题型1 利用均值不等式比较代数式的大小则由杠杆平衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a. ②①×②得G2=ab,所以 .由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式 知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均值.点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值.已知a、b、c都是正数，且a+b+c=1.求证：证明：因为所以同理，有所以但由于3a+2≠1，所以上式不能取等号.所以解：因为x＞-1，所以x+1＞0.设x+1=z＞0，则x=z-1.把x=z-1代入函数式，得当且仅当z=2，即x=1时上式取等号.所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.题型2 求函数或代数式的最值 2. 设x＞-1，求函数 的最值.点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.设x≥0,y≥0, ,则 的最大值为______.解法1：因为x≥0,y≥0, ， 所以 当且仅当 (即 )时, 取得最大值解法2：令则 当2cos2θ=1+2sin2θ,即 , 即 时， 取得最大值 .3. 若对任意正实数x、y,不等式 恒成立，则a的最小值是 .解：若不等式恒成立,则 恒成立.所以因为 所以 当且仅当x=y时取等号. 所以a≥ ，故amin= .题型3 用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值.(2010·山东卷)若对任意x>0， ≤a恒成立，则a的取值范围是_______________．解：因为 对任意x>0恒成立，设u=x+ +3，所以只需a≥ 恒成立即可．因为x>0，所以u≥5(当且仅当x=1时取等号)．由u≥5知0< ≤ ，故a≥ .已知a、b、c∈R,求证： 证明：因为 所以 同理, 三式相加得1. 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能.2. a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而 成立，则要求a＞0且b＞0.使用时，要明确定理成立的前提条件.3. 均值不等式有a2+b2≥2ab， a+b≥ 等形式，解题时要根据问题特点适当选用.