高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试教学课件ppt

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第六章 不等式不等式的证明第 讲3（第三课时）题型6 用反证法证不等式1. 已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于 .证法1：假设三式同时大于 ，即有(1-a)b＞ ，(1-b)c＞ ，(1-c)a＞ ,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞ .又(1-a)a≤( )2= ， 同理，(1-b)b≤ ，(1-c)c≤ ， 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ， 因此与假设矛盾，故结论正确. 证法2：假设三式同时大于 . 因为0＜a＜1，所以1-a＞0，点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾(得出结论).所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ＞ ，矛盾. 故假设不成立，从而原命题成立. 已知a,b,c∈R,求证：a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1. 证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c＜-1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加， 得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3， 所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0， 即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0， 这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0，矛盾. 故结论成立. 题型7 用换元证不等式2. 已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab-3b2|≤20. 证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4， 所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r ≤2， 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ| =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20. 所以原不等式成立.点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有：若x2+y2=a2，可设x=acosθ，y=asinθ；若 可设x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).已知1≤x2+y2≤2，求证： ≤x2-xy+y2≤3. 证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,则 由-1≤sin2θ≤1，得 ≤1- sin2θ≤ . 又1≤r2≤2，所以 ≤r2(1- sin2θ)≤3， 即 ≤x2-xy+y2≤3.3. 求证： 证明：令 x∈R， 则yx2+yx+y=x2-x+1. 于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.① (1)若y=1，则x=0，符合题意； (2)若y≠1,则①式是关于x的一元二次方程. 题型8 判别式法证不等式由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0， 解得 ≤y≤3且y≠1. 综合(1)(2)，得 ≤y≤3，即 点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.求证： 证明：令 则yx2-(y+1)x+y+1=0，① (1)当y=0时，得x=1，符合题意； (2)当y≠0时，则①式是关于x的一元二次方程. 由x∈R，得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥0， 解得-1≤y≤ ,且y≠0. 综合(1)(2),得-1≤y≤ ,所以已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x＞-1，证明: ≤ln(x+1)≤x.证明：令f ′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，f ′(x)＞0;当x∈(0，+∞)时，f ′(x)＜0. 题型 不等式与函数的综合应用所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数，在区间(0，+∞)上是减函数.所以当x＞-1时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)-x≤0，故ln(x+1)≤x.令 则令g′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，g′(x)＜0;当x∈(0，+∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(-1，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故当x＞-1时，g(x)≥g(0)=0， 即 故综上知，1. 在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2α+cos2α=1，进行三角换元. 2. 含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为某个字母的二次三项式，考虑判别式. 3. 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.