2020年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷 解析版

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2020年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1.的算术平方根是（　　）A．3 B．﹣3 C．±3 D．62如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（　　）A． B． C． D．3国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为（　　）米A．7×109 B．7×10﹣9 C．7×108 D．﹣7×1094在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　）A．Q（6，﹣490°） B．Q（6，590°） C．Q（6，﹣110°） D．Q（6，230°）5已知⊙O的直径为6cm，M是直线l上一点，且点M与圆心O之间的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相切 B．相切或相交 C．相交 D．相离或相切6已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）A．x＞1 B．x＜0 C．x＜0或x＞1 D．x＜0或0＜x＜17如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（　　）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）8如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（　　）A．4 B．2 C．6 D．4二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9分解因式：﹣4a3+4a2﹣a＝　　．10某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为　　．11如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形BDCE的面积为3，则k的值为　　．12如图，△ABC中，以A为圆心且半径为2的圆恰好与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F，点P是⊙A上一点，若∠DPF＝30°，则图中阴影部分的面积为　　．13如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　　度．14如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为　　cm2．三、作图题（本题满分4分）15已知：△ABC．求作：⊙O，其中O为AC的中点，且⊙O与直线BC相切．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16（1）化简：（1+）÷；（2）解不等式组，并写出它的整数解．17受疫情影响，商场的客流量大幅减少．某商场为了吸引顾客，决定举办抽奖活动，规则如下：有红色、蓝色两个不透明的盒子，每个盒子里都放置三张标有数字2、3、4的纸牌（除数字外其它都相同）．参加抽奖的顾客从两个盒子里各摸出一张纸牌，将红色盒子摸出的数字做十位，将蓝色盒子摸出的数字做个位，组成一个两位数．如果得到的两位数是奇数，则视为一等奖，如果得到的两位数是偶数，则视为二等奖，都可获得相应金额的购物券．（1）请利用列表或画树状图的方法列出可能出现的所有结果，并求出参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率；（2）如果获得一等奖可得到30元的购物券，获得二等奖可得到15元的购物券，那么顾客参加一次抽奖活动所获得购物券金额的平均数为　　元．18“2020青岛•全球创投风投网络大会”5月在青岛成功举办，本市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了一些年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：（1）请直接写出a＝　　，m＝　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度；（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）若本市现有10～60岁的市民550万人，则40～50岁年龄段关注本次大会的人数约有多少？19在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB、AC为45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i＝．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？（结果保留整数，sin65°≈，tan65°≈，cos65°≈）20为了应对“新冠”防疫对口罩的需求，某药店的口罩专柜，对A，B两种品牌的口罩分两次采购试销后，供不应求，计划继续采购进行销售．已知这两种口罩过去两次的进货情况如下表：（1）问A，B两种品牌口罩的进货单价各是多少元？（2）由于A品牌口罩的销量好于B品牌，药店决定采购A品牌的口罩数比B品牌口罩数的多1000个，在采购总价不超过43600元的情况下，最多能购进多少个A品牌口罩？21如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B的对应点B′，连接B′C，交AD于点E，过点B′作B′F∥CD，交AC于点F．（1）求证：△AB′E≌△CDE；（2）若∠ACB＝30°，则四边形B′FCD是什么特殊四边形？请加以证明．22发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，AB是高度为3米的防御墙．（1）求石块运行的函数关系式；（2）计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是多少？（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？23提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．探究一：我们以两个长、宽、高都分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．（1）请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：根据上表可知，表面积最小的是　　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为　　．探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　　（直接写出结果）．类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？拓展延伸：将168个边长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是　　cm2．24已知：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，EF＝16cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将Rt△ABC和Rt△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时停止运动；运动二：在运动一结束后，如图3，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为1cm/s，当QC⊥DF时停止旋转；运动三：在运动二结束后，如图4，Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．从运动一开始计时（中间停止不计时），设运动时间为t（s）．解答下列问题：（1）在运动一过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在∠F的平分线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（2）在运动二过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动三过程中，设Rt△ABC与Rt△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（4）在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　　s．2020年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1.的算术平方根是（　　）A．3 B．﹣3 C．±3 D．6【考点】算术平方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】A【分析】先求出＝9，再根据算术平方根的定义求出即可．【解答】解：∵＝9，∴的算术平方根是＝3，故选：A．2如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（　　）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【答案】A【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：它的左视图是下面一个圆，上面是一个矩形的三边与下面圆形的上半圆组成的图形．故选：A．3国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为（　　）米A．7×109 B．7×10﹣9 C．7×108 D．﹣7×109【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：7纳米＝7×0.000000001米＝7×10﹣9米．故选：B．4在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　）A．Q（6，﹣490°） B．Q（6，590°） C．Q（6，﹣110°） D．Q（6，230°）【考点】中心对称；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据中心对称的性质解答即可．【解答】解：∵P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°），∴由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（6，230°），（6，﹣490°），（6，590°），故选：C．5已知⊙O的直径为6cm，M是直线l上一点，且点M与圆心O之间的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相切 B．相切或相交 C．相交 D．相离或相切【考点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】B【分析】欲求直线与圆的位置关系，关键是明确直线上一点到圆心的距离恰好等于圆的半径，也就是说直线与圆至少有一个交点．【解答】解：∵圆O的半径r＝3cm，且直线上存在一点到圆心的距离d＝3cm，∴直线与圆至少有一个交点．①当圆与直线有且只有一个交点时，交点到圆心的距离为3cm，此时直线与圆相切．②当直线与圆有两个交点时，交点到圆心的距离为3cm．此时直线与圆相交．∴直线与圆的位置关系是相交或相切．故选：B．6已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）A．x＞1 B．x＜0 C．x＜0或x＞1 D．x＜0或0＜x＜1【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】数形结合．【答案】C【分析】根据函数图象，写出抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，x＜0或x＞1时抛物线在双曲线上方，所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞1．故选：C．7如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（　　）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】网格型．【答案】B【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．【解答】解：∵△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），∴旋转中心的坐标为（1，2）．故选：B．8如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（　　）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．【答案】C【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案．【解答】解：设BE＝x，则DE＝3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE•DE，即AE2＝3x2，∴AE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，即122＝（ x）2+（3x）2，解得x＝2，∴AE＝6，DE＝6，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A＝2AE＝12＝AD，AD＝A′D＝12，∴△AA′D是等边三角形，∵PA＝PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ＝A′P+PQ＝A′Q＝DE＝6．故选：C．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9分解因式：﹣4a3+4a2﹣a＝　　．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】整式；符号意识．【答案】﹣a（2a﹣1）2．【分析】直接提取公因式﹣a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝﹣a（4a2﹣4a+1）＝﹣a（2a﹣1）2．故答案为：﹣a（2a﹣1）2．10某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为　　．【考点】一元二次方程的应用．【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】10%．【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得，7200（1﹣x）2＝5832，解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%．故答案为：10%．11如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形BDCE的面积为3，则k的值为　　．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】﹣8．【分析】先证明△OCE∽△ODB，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和OC＝CD，可知△OBD的面积为4，由于反比例函数图象特征可知k的值．【解答】解：如图所示，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴BD∥AC，∴△OCE∽△ODB，∴＝（）2，∵OC＝CD，∴＝，∵四边形BDCE的面积为3，∴△ODB的面积为4，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．12如图，△ABC中，以A为圆心且半径为2的圆恰好与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F，点P是⊙A上一点，若∠DPF＝30°，则图中阴影部分的面积为　　．【考点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．【答案】2﹣π．【分析】连接AD，根据切线的性质得到AD⊥BC，根据圆周角定理求出∠DAC，根据正切的定义求出DC，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AD，∵BC是是⊙A的切线，∴AD⊥BC，由圆周角定理得，∠DAC＝2∠DPF＝60°，∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2，∴图中阴影部分的面积＝△ADC的面积﹣扇形DAF的面积＝×2×2﹣＝2﹣π，故答案为：2﹣π．13如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　　度．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】44．【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝∠OCB＝46°，求出∠OCB即可解决问题．【解答】解：如图，连接BO，∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣44°）÷2＝68°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO＝22°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA＝∠OAB＝22°，∴∠OBC＝∠OCB＝68°﹣22°＝46°，∵EF垂直平分线段OC，∴∠CEF＝90°﹣46°＝44°．故答案为：44．14如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为　　cm2．【考点】认识立体图形；几何体的表面积．【专题】几何图形；几何直观．【答案】104．【分析】打孔后的长方体的表面积＝原来长方体的表面积﹣6个正方形的面积+24个矩形的面积．【解答】解：打孔后的长方体的表面积＝2×（3×3+3×5+3×5）﹣6+8×（1×1）+8×（1×1）+8×（2×1）＝104（cm2）三、作图题（本题满分4分）15已知：△ABC．求作：⊙O，其中O为AC的中点，且⊙O与直线BC相切．【考点】切线的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；尺规作图；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】作AC的垂直平分线找到AC的中点O，过点O作直线BC的垂线，垂足为D，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O即可．【解答】解：如图，⊙O即为所求．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16（1）化简：（1+）÷；（2）解不等式组，并写出它的整数解．【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】（1）；（2）﹣0.5＜x≤3；0、1、2、3．【分析】（1）首先计算小括号里面的加法，然后计算小括号外面的除法即可．（2）首先求出其中各不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：（1）（1+）÷＝÷＝×＝．（2）解不等式5x＞3x﹣1，得：x＞﹣0.5，解不等式﹣2≤，得：x≤3，则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤3，∴不等式组的整数解为0、1、2、3．17受疫情影响，商场的客流量大幅减少．某商场为了吸引顾客，决定举办抽奖活动，规则如下：有红色、蓝色两个不透明的盒子，每个盒子里都放置三张标有数字2、3、4的纸牌（除数字外其它都相同）．参加抽奖的顾客从两个盒子里各摸出一张纸牌，将红色盒子摸出的数字做十位，将蓝色盒子摸出的数字做个位，组成一个两位数．如果得到的两位数是奇数，则视为一等奖，如果得到的两位数是偶数，则视为二等奖，都可获得相应金额的购物券．（1）请利用列表或画树状图的方法列出可能出现的所有结果，并求出参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率；（2）如果获得一等奖可得到30元的购物券，获得二等奖可得到15元的购物券，那么顾客参加一次抽奖活动所获得购物券金额的平均数为　　元．【考点】概率公式；列表法与树状图法．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．【答案】（1）可能出现的所有结果见解析，；（2）20元．【分析】（1）画出树状图，即可得出结论；（2）由加权平均数即可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如图：可能出现的所有结果有9个，参加一次抽奖活动能获得一等奖的结果有3个，∴参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率为＝；（2）由（1）得：参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率为，参加一次抽奖活动能获得二等奖的概率为，∴顾客参加一次抽奖活动所获得购物券金额的平均数为＝20（元），故答案为：20．18“2020青岛•全球创投风投网络大会”5月在青岛成功举办，本市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了一些年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：（1）请直接写出a＝　　，m＝　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度；（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）若本市现有10～60岁的市民550万人，则40～50岁年龄段关注本次大会的人数约有多少？【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先根据第1组的人数及其所占百分比求出总人数，再进一步求解即可；（2）根据以上所求数据即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中第4组人数所占比例即可．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷5%＝200，∴a＝200×25%＝50，m%＝30÷200×100%＝15%，即m＝15，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是360°×＝126°，故答案为：50、15、126；（2）补全频数分布直方图如下：（3）40～50岁年龄段关注本次大会的人数约有550×＝82.5（万人）．19在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB、AC为45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i＝．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？（结果保留整数，sin65°≈，tan65°≈，cos65°≈）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】231步．【分析】过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，得矩形CHDM，根据三角函数可得登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，进而可得结论．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，得矩形CHDM，∴CH＝DM，根据题意可知：山坡DF的坡度为i＝＝，AB＝AC＝45cm，∠BAC＝65°，∴sin∠BAC＝sin65°＝＝≈，∴CH≈45×＝（cm），∴＝＝＝，∴EM＝（cm），∵登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，∵50m＝5000cm，∴5000÷≈231.48≈231（步）．答：这名登山队员沿着这段山坡，大约走231步才能将自己所处位置的海拔提高50米．20为了应对“新冠”防疫对口罩的需求，某药店的口罩专柜，对A，B两种品牌的口罩分两次采购试销后，供不应求，计划继续采购进行销售．已知这两种口罩过去两次的进货情况如下表：（1）问A，B两种品牌口罩的进货单价各是多少元？（2）由于A品牌口罩的销量好于B品牌，药店决定采购A品牌的口罩数比B品牌口罩数的多1000个，在采购总价不超过43600元的情况下，最多能购进多少个A品牌口罩？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．【答案】（1）A品牌口罩的进货单价为2元，B品牌口罩的进货单价为2.2元；（2）最多能购进13000个A品牌口罩．【分析】（1）设A品牌口罩的进货单价为x元，B品牌口罩的进货单价为y元，根据总价＝单价×数量结合两次的进货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m个B品牌口罩，则购进（m+1000）个A品牌口罩，根据总价＝单价×数量结合采购总价不超过43600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再将其代入（m+1000）中取最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设A品牌口罩的进货单价为x元，B品牌口罩的进货单价为y元，依题意得：，解得：．答：A品牌口罩的进货单价为2元，B品牌口罩的进货单价为2.2元．（2）设购进m个B品牌口罩，则购进（m+1000）个A品牌口罩，依题意得：2（m+1000）+2.2m≤43600，解得：m≤8000，∴m+1000≤13000．答：最多能购进13000个A品牌口罩．21如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B的对应点B′，连接B′C，交AD于点E，过点B′作B′F∥CD，交AC于点F．（1）求证：△AB′E≌△CDE；（2）若∠ACB＝30°，则四边形B′FCD是什么特殊四边形？请加以证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；多边形；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明见解析部分．（2）结论：四边形B′FCD是菱形．证明见解析部分．【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）结论：四边形B′FCD是菱形．首先证明FB′＝FA＝FC，再证明AC＝2AB＝2CD，推出B′F＝CD，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠CDA＝90°，AB＝CD，由翻折可知，AB＝AB′，∠AB′E＝∠B＝90°，∴AB′＝CD，∠AB′E＝∠CDE＝90°，∵∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS）．（2）解：结论：四边形B′FCD是菱形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACB′＝30°，∴∠DCB′＝30°，∵FB′∥CD，∴∠FB′C＝∠DCE＝30°，∴∠FB′C＝∠B′CF＝30°，∴CF＝FB′，∵∠AB′C＝90°，∴∠FAB′＝∠FB′A＝60°，∴FB′＝FA＝FC，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2CD，∴FB′＝CD，∵FB′∥CD，∴四边形B′FCD是平行四边形，∵CF＝CD，∴四边形B′FCD是菱形．22发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，AB是高度为3米的防御墙．（1）求石块运行的函数关系式；（2）计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是多少？（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？【考点】二次函数的应用．【专题】数形结合；待定系数法；一次函数及其应用；二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；（2）石块能飞越防御墙AB；（3）石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是8.1米．（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移（4﹣10）米．【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；（4）设向左平移后的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+10，把（30，6）代入解析式求得h即可．【解答】解：（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，解得：a＝﹣，∴解析式为：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙AB；（3）设OA的解析式为y＝kx，把（30，3）代入得：3＝30k，∴k＝，∴OA的解析式为y＝x，如图，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），∴PQ的长d＝﹣t2+t﹣t＝﹣t2+t．∵二次项系数为负，∴图象开口向下，d有最大值．当t＝﹣＝18时，dmax＝﹣×182+×18＝8.1．∴石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是8.1米．（4）设向左平移后的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+10，把（30，6）代入解析式，得﹣（30﹣h）2+10＝6，解得h1＝30﹣4，h2＝30+4（舍）．∴20﹣（30﹣4）＝4﹣10．∴如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移（4﹣10）米．23提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．探究一：我们以两个长、宽、高都分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．（1）请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：根据上表可知，表面积最小的是　　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为　　；综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为　　．探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　　（直接写出结果）．类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？拓展延伸：将168个边长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是　　cm2．【考点】有理数的乘法；认识立体图形；几何体的表面积．【专题】规律型；推理能力；创新意识．【答案】探究一：158，图1；探究二：236，248，236，236；探究三：236；类比应用：表面积最小为484；拓展延伸：188．【分析】探究一：根据表面积计算公式进行计算，即可得到结果；探究二：根据摆放要求，按表面积计算公式计算即可；探究三：根据探究规律，代入计算即可；类比应用：仿照探究三的解题思路，得出规律：当L＝5×2＝10，K＝4×2＝8，H＝3×3＝9时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（10×8+8×9+10×9）＝484；拓展延伸：把168分解因数，根据规律求出L、K、H的值代入计算即可．【解答】解：探究一：∵2×（5×8+8×3+5×3）＝158，∴图1表面积最小，故答案为：158，图1；探究二：∵2×（5×6+6×8+5×8）＝236，2×（10×4+4×6+10×6）＝248，2×（5×8+8×6+5×6）＝236，∴大长方体的表面积最小为236，故答案为：236，248，236，236；探究三：∵2×（5×8+8×6+5×6）＝236，故答案为：236；类比应用：由探究三可得：当L＝5×2＝10，K＝4×2＝8，H＝3×3＝9时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（10×8+8×9+10×9）＝484；拓展延伸：∵168＝2×2×2×3×7，∴当L＝4，K＝6，H＝7时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（4×6+6×7+4×7）＝188，故答案为：188．24已知：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，EF＝16cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将Rt△ABC和Rt△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时停止运动；运动二：在运动一结束后，如图3，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为1cm/s，当QC⊥DF时停止旋转；运动三：在运动二结束后，如图4，Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．从运动一开始计时（中间停止不计时），设运动时间为t（s）．解答下列问题：（1）在运动一过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在∠F的平分线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（2）在运动二过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动三过程中，设Rt△ABC与Rt△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（4）在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　　s．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）存在．如图1中，作FQ平分∠CFD交DE于Q，过点Q作QH⊥EF于H．解直角三角形求出CH的值即可．（2）先求出CQ＝16﹣x＝（cm），再根据勾股定理求出FQ＝（cm），进而得出DQ＝（cm），即可得出结论；（3）存在．如图4中，连接CD，求出运动时间的范围，再表示出运动3开始后CQ＝FQ＝（11﹣t），DQ＝8﹣（11﹣t）＝t﹣3，利用矩形的面积公式计算即可．（4）求出三次运动的时间和即可．【解答】解：（1）存在．理由：如图1中，连接FQ．∵点Q正好在∠F的平分线上，∴QC＝DQ，∵∠D＝90°，∠DEF＝30°，∴∠DFE＝60°，∵QF平分∠DFE，∴∠QEF＝∠QFE＝30°∴QE＝QF，∵QC⊥EF，∴EC＝FC＝8（cm），∴t＝8．（2）如图3，在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，∴DF＝EF＝8（cm），连接CD，则∠DCF＝90°，在Rt△DCF中，∠CDF＝30°，∴CF＝DF＝4（cm），连接BQ，∵点Q在线段AB的垂直平分线上，∴QA＝QB，设QA＝QB＝xcm，则CQ＝（16﹣x）cm，在Rt△BCQ中，BQ2＝BC2+CQ2，∴x2＝122+（16﹣x）2，∴x＝，∴CQ＝16﹣x＝（cm），过点Q作QM⊥CF于M，设FM＝acm，则CM＝CF﹣FM＝（4﹣a）cm，在Rt△FMQ中，则FQ＝2a，QM＝a，在Rt△CMQ中，根据勾股定理得，（4﹣a）2+（a）2＝（）2，∴a＝或a＝，∴FQ＝（cm）（舍）或FQ＝（cm），∴DQ＝DF﹣FQ＝8﹣＝（cm），∴△ABC旋转了÷1＝（秒），∴t＝（16﹣4）÷1+＝（秒）；（3）存在．理由：如图3中，连接CD，∵DF＝EF•sin30°＝EF＝8（cm），∴CD＝DF•sin60°＝4（cm），EC＝CD＝12（cm）∴DQ＝CD•cos30°＝6（cm），∴运动2结束的时间，t＝12+6＝18；运动3开始，CF＝[4﹣（t﹣18）]cm，在Rt△CQF中，FQ＝CF＝（11﹣t）cm，∴CQ＝FQ＝（11﹣t）cm，DQ＝8﹣（11﹣t）＝（t﹣3）cm，当18≤t≤22时，S＝（11﹣t）•（t﹣3）＝﹣t2+7t﹣33．（4）在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时＝12+6+4＝22（s）故答案为：22．组别年龄段频数（人数）第1组10≤x＜2010第2组20≤x＜30a第3组30≤x＜4070第4组40≤x＜5030第5组50≤x＜6040第一次第二次A品牌口罩数/个800010000B品牌口罩数/个60008000累计采购款/元2920037600长（cm）宽（cm）高（cm）表面积（cm2）图1546148图21043164图3583　　组别年龄段频数（人数）第1组10≤x＜2010第2组20≤x＜30a第3组30≤x＜4070第4组40≤x＜5030第5组50≤x＜6040第一次第二次A品牌口罩数/个800010000B品牌口罩数/个60008000累计采购款/元2920037600长（cm）宽（cm）高（cm）表面积（cm2）图1546148图21043164图3583