2021年高考真题浙江卷（1月学考）数学试题（解析版）

2021年1月浙江普通高中学考试卷

数学学科

一､选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.)

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】因为，所以.

故选：B.

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】根据题意可得，所以.

故选：C.

3. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】.

故选：B.

4. 以为直径端点的圆方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】解：根据题意得的中点即为圆心坐标，为，

半径，

所以以为直径端点的圆方程是.

故选：D.

5. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为，高为，几何体的高为，所以三棱柱的体积为.

故选：C.

6. 不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】解：由指数函数在上单调递增，，

所以，进而得，即.

故选：A.

7. 若实数满足不等式组，则的最大值是（    ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】由实数满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：

将，转化为，平移直线，

当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，

此时目标函数取得最大值，最大值是5，

故选：C

8. 若直线与平行，则与间的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为与平行，所以，得，所以，所以与间的距离为.

故选：C.

9. 在中，角所对的边分别为，若，则（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】D

【解析】因为在中，，

所以

因为，

所以，

因为则,

或

故选：D

10. 已知平面和直线，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】解：对于A选项，若，则或相交，故A选项不正确；

对于B选项，若，则或相交，故B选项不正确；

对于C选项，若，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；

对于D选项，若，则，故D选项不正确.

故选：C.

11. 若，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解：当，由于，，故充分性成立；

当，不妨设，成立，不成立，故必要性不成立.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

12. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，

又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，

故选：A.

13. 已知数列的前项和为，且满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】，，，，……

所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，

，，所以，

，，所以.

故选：D

14. 如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】取的中点，连接

由分别为的中点，则且

在正方体中且,所以且

所以四边形为平行四边形，所以

则（或其补角）为异面直线与所成角.

设正方体的棱长为2，则在中，,

所以

故选：A

15. 某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则下列结论不一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】设，

由图知，，解得，所以，

假设，则即，

，，，，

，

对于选项A：，，

所以，故选项A成立；

对于选项B：，

显然最大值为，不成立，故选项B不成立；

对于选项C：，，所以，故选项C成立；

对于选项D：，

所以，

因为，所以，即，所以，

故选项D成立，

故选：B

16. 已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】令.

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，，

由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得，.

作出函数，直线、、的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有且只有一个交点.

综上所述，函数的零点个数为.

故选：D.

17. 如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点，是椭圆上一点，，记椭圆的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】，则，所以直线，与椭圆方程联立，所以点的横坐标是，，即，，整理为：

，两边同时除以得：，

，，所以，得，或（舍）.

故选：B

18. 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，

O为ABCG对角线交点且，又有，，

∴面，而面，故面面，

若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且，

而，，有平行且相等，即为平行四边形.

∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中，

令，，即，

∴△中，，即，

∵，即，

∴，解得（舍去），

综上有，

故选：C

二､填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分.)

19. 设等比数列的公比为，前项和为.若，则____，____.

【答案】 (1). 4    (2). 21

【解析】因为，所以.

.

故答案为：；

20. 已知平面向量满足，则______.

【答案】

【解析】因为，

所以，

，

，

故答案为：

21. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.

【答案】

【解析】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，

设双曲线焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，

所以，进而得.

故双曲线的实轴长为：.

故答案为：

22. 已知，若存在实数，使得成立，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】解：因为，故不等式两边同除以b，得，令，即不等式在上有解.

去绝对值即得，即 即在上有解，设，，，即且即可，

由在上，，，即，故；

由，利用基本不等式，当且仅当即时等号成立，故，即，故，

综上：t的取值范围是，即的取值范围是.

故答案为：.

三､解答题(本大题共3小题，共31分.)

23. 已知函数，.

（1）求的值；

（2）求函数的最小正周期；

（3）当时，求函数的值域.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1），即.

（2），

故的最小正周期.

（3）因为，所以，

当，即时，；

当，即时，，

故在上的值域为.

24. 如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.

（1）若是抛物线的焦点，求直线的方程；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为是抛物线的焦点，所以，即，

设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，

所以，直线的方程为.

（2）设直线的方程为，，，，

由，得，，，

∴.

由直线与圆相切，得，即.

由，，得.

所以，又，解得.

由直线与互相垂直，得，

.

25. 设，已知函数.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设，若实数满足，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】解：（1）由题意，对任意，都有，

即，亦即，因此；

（2）证明：因为，，

.

所以，.

（3）设，则，

当时，；

当时，；

，，

所以.

由得，即.

①当时，，，所以；

②当时，由（2）知，

，等号不能同时成立

综上可知.