广东省六校2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题含答案

2022届六校第三次联考试题数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则 (   )

A.   B.    C.       D.

2．设命题，命题对任何，都有．若命题是真命题，命题是假命题，则实数的取值范围是(   )

   A.     B.      C.        D.

3.已知为虚数单位，若复数，是的共轭复数，则＝(   )

A.                  B.                 C.             D.  

4.定义在上的奇函数满足.若，则=(   )

A.                 B.                  C.               D.

5.已知公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为(   )

A.              B.                 C. 或       D. 或

6.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围

是(   )

A．          B．            C．             D．

7.已知函数的部分图象如图1所示.若，则的值为(   )

A.         B.        C.        D.

8.设实数满足 ，则的取值范围

是(   )

A．        B．            C．             D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有(   )      

A. 点的坐标为              B. 面积的最大值为

C. 当直线与直线垂直时，

D. 的最大值为

10.中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足（为正实数），则下列结论正确的是(   )

A．                   B．

C．的最大值为 D．的最小值为

11.已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有(   )

A. 当时，的取值范围是

B. 当时，的取值范围是

C. 当时，的取值范围是

D. 当时，的取值范围是

12. 如图2，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（     ）

A. 侧面上不存在点，使得
B. 点到面的距离与点到面的距离之比为

C. 若点满足平面，则动点的轨迹长度为

D.若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知椭圆的离心率为，则实数的值为       .

14.已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则      .

15.已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是            .

16.若对任意的，且当时，都有，则的最小值是       .

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知中内角的对边分别是，且.

（1）求角；（2）若，，求的面积.

18.（12分）

某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；

（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

19.（12分）

已知数列满足，.

（1）若等差数列恰使数列是以为首项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；

（2）设数列的前项和为，求，.

20.（12分）

如图3，已知四边形为正方形，平面， ，，,为线段上的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.

21.（12分）

在平面直角坐标系中，已知圆，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若满足，求证：.

2022届六校第三次联考数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，共40分.

二、多选题：每小题5分，共20分.

三、填空题：每小题5分，共20分.

(13) 或；  （14）；  （15）；   （16）.

四、解答题

17.（10分）已知中内角的对边分别是，且.

（1）求角；（2）若，，求的面积.

解：（1）， …………………………………………1分

，

，即，   ……………………………3分

解得或.

，，    ……………………………………………………4分

或.  ……………………………………………………………………5分

（2）①当时，由余弦定理得：，

化简得：，，  ………………………………………………7分

.  ……………………………………………………………8分

②当时，由余弦定理得：，

化简得：，，不符合题意，舍去.

综上，的面积为.  ………………………………………………………10分

18.（12分）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；

（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

解：（1）当且时，；

当且时，

.

∴    ………………………………5分

（2）解：①当且时，，

∴当时，取得最大值，最大值为万元. ………………………………8分

②当且时，，

当且仅当，即时，取得最大值，最大值为万元.   ………11分

,当年产量为台时，年利润最大，最大值为万元.  ……12分

19.（12分）已知数列满足，.

（1）若等差数列恰使数列是以为首项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；

（2）设数列的前项和为，求，.

    解：（1）（法一）由，，

令，得， …………………………………………………………1分

，，，，

 又为等差数列，.   …………………………………………………3分

.

    因此，实数的最小值为.……………………………………………………………5分

（法二），

    ，，…………………………………………2分

则数列是公比为的等比数列，依题意.   …………………………3分

后面同法一（略）.

（2）由（1）有数列是以为首项，为公比的等比数列，

，则.    ……………………………………………7分

  ，

设，   …………………①

则，………………②

由①-②，得，

.  ………………………………………………………………10分

又，

.   ……………………………………………………12分

20.（12分）如图3，已知四边形为正方形，平面， ，，,为线段上的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.

解：（1）因为，，

所以，则共面. 

因为平面，且平面，

所以.

又，则.

由，且为的中点，得，

又，所以平面.

因为平面，

所以.  ………………………………………………………………………5分

（2）（法一）连，平面即为平面，

 在中，，，，

，则，………………7分

，…………………8分

因为，平面，所以平面，

又因为平面，所以点到平面的距离等于的长度，设点到平面的距离为，根据，得.………10分

因为点为线段上的动点，所以的最小值为的边上的高，的最大值为边长与边长中的最大者.

在中，，,边上的高为，则.

设与平面所成角为，则.

因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为. ………………12分

（法二）如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，.

,，

设平面的法向量为，则 即

令，得，所以.     ……………………………………8分

因为为线段上的动点，所以可设，

，

设与平面所成角为，则，………10分

，，

，，则.

因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为.…………………12分

21.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）设动圆的半径长为，则，，

.  …………………………………………………………………2分

因此，圆心的轨迹为以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支，

设的方程为，则根据双曲线定义，，

，   …………………………………………………………………4分

因此，的方程为.   ……………………………………………5分

（说明：没写的范围扣1分）

（2）不存在满足条件的点，理由如下：  

假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，

由 消去并整理，得，

设、，则，，……（*）………6分

由，得，即，

 将，代入上式并化简，

得. …………………………………………………8分

将（*）式代入上式，有，解得.…10分

而当直线交于两点时，必须有且.

当时，，，

由 无解，则当时，不符合条件.

因此，不存在满足条件的点.  ……………………………………………………12分

22.（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若满足，求证：.

解：（1）.

①当时， ，由，得；由，得;

②当时，由，得或；由，得;

③当时，;

④当时，由，得或，由，得.

综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；

当时，的单调减区间为，单调增区间为；

当时，的单调减区间为，无单调增区间；

当时，的单调减区间为，单调增区间为.…………5分

（2）不妨设，由(1)知，当且当时，有.（法一）：要证，即证,

，且在单调递减，即证,

由，转证：.

,

，转证：, ……………………………………………6分

令,则，

在上单调递减，

，从而不等式成立.   ………………………………………8分

同理，要证，即证.

，且在单调递减，

即证，由于，则即证.

,

，转证：. ………………………………9分

令,

则，

在上单调递增，则. ………………………………………10分

,

令，则,

在上是单调递减函数，则,即. ………11分

由在上单调递增，则，从而不等式成立.

综合可得成立. …………………………………………………………12分

法二：先证明对数平均不等式：.

即证：，即证.

令，即证，……（*）    ………………7分

令，则，

，，，

不等式成立，从而对数平均不等式成立. …………………………………………9分

由，有 ，

解得，…………………………………………………………10分

由对数平均不等式，有，两边平方，得，

令，则，即，

解得.

因此，不等式成立. ……………………………………………………12分