高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试巩固练习

模块综合素质检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知sinα＝－，<α<，则角α等于(　　)

A.　　　　　　　　　

B.

C. 

D.

[答案]　D

2．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是(　　)

A．[－4,6] 

B．[－6,4]

C．[－6,2] 

D．[－2,6]

[答案]　C

[解析]　由|a＋b|≤5平方得a2＋2a·b＋b2≤25，

由题意得8＋2(－10＋2k)＋25＋k2≤25，

即k2＋4k－12≤0，(k＋6)(k－2)≤0，求得－6≤k≤2.故选C.

3．函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是(　　)

A. 

B.

C．π 

D．2π

[答案]　C

[解析]　由f(x)＝|sinx＋cosx|＝，而y＝sin(x＋)的周期为2π，所以函数f(x)的周期为π，故选C.

[点评]　本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响．

4．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)

A．30°　 　　

B．60°　 　　

C．120°　　　

D．150°

[答案]　C

[解析]　∵c⊥a，∴a·c＝0，∴a·(a＋b)＝0，

即a·b＝－|a|2，设a与b的夹角为θ，

∴cosθ＝＝＝－，

∴θ＝120°.

5．函数y＝tan的单调增区间是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

[答案]　A

[解析]　∵kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z，

∴kπ－<2x<kπ＋，k∈Z.

∴－<x<＋，k∈Z.

6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)

A．(－2,4) 

B．(－30,25)

C．(10，－5) 

D．(5，－10)

[答案]　C

[解析]　设(－10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v.

所以(x＋10，y－10)＝(20，－15)

⇒⇒所以选C.

7．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为(　　)

A．π，1 

B．π， 

C．2π，1 

D．2π，

[答案]　A

[解析]　y＝sin2xcos＋cos2x·sin＋cos2xcos－sin2xsin

＝sin2x＋cos2x＋cos2x－sin2x

＝cos2x，

∴函数的最小正周期为π，最大值为1.

8．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6) 

B．(－2,6)

C．(2，－6) 

D．(－2，－6)

[答案]　D

[解析]　设d＝(x，y)，由题意4a＝(4，－12),4b－2c＝(－6,20),2(a－c)＝(4，－2)．又表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，

∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，即(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，求得向量d＝(－2，－6)．

9．若sinα＋cosα＝tanα，则角α所在区间是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

[答案]　C

[解析]　tanα＝sinα＋cosα＝sin(α＋)，

∵0<α<，∴<α＋<.

∴<sin(α＋)≤1.

∴1<tanα≤<.

∴<α<，即α∈(，)．故选C.

10．若向量i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋mj，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是(　　)

A.

B．(－∞，－2)∪

C.∪

D.

[答案]　B

[解析]　由条件知a＝(1，－2)，b＝(1，m)，

∵a与b的夹角为锐角，

∴a·b＝1－2m>0，∴m<.

又a与b夹角为0°时，m＝－2，∴m≠－2.

[点评]　两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论．

11．已知函数F(x)＝sinx＋f(x)在上单调递增，则f(x)可以是(　　)

A．1 

B．cosx 

C．sinx 

D．－cosx

[答案]　D

[解析]　当f(x)＝1时，F(x)＝sinx＋1；当f(x)＝sinx时，F(x)＝2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是，在上不单调；对B选项，当f(x)＝cosx时，F(x)＝sinx＋cosx＝sin的一个增区间是，在上不单调；D选项是正确的．

12．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)

A．直角三角形 

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 

D．正三角形

[答案]　B

[解析]　∵C＝π－(A＋B)，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sin(A＋B)．∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∴A－B＝kπ(k∈Z)．又A、B为三角形的内角，∴A－B＝0.∴A＝B.则三角形为等腰三角形．

[点评]　解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．函数y＝cos2x＋sinxcosx的最小正周期T＝________.

[答案]　π

[解析]　y＝cos2x＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x

＝sin(2x＋φ)，

∴函数f(x)的周期T＝＝π.

14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.

[答案]　1

[解析]　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，

∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，

∵α、β为锐角，∴cosα≠0，cosβ≠0，

上式两边同除以cosαcosβ得

1－tanαtanβ＝tanα－tanβ，

即tanα－tanβ＋tanαtanβ－1＝0，

∴(1＋tanβ)(tanα－1)＝0，

∵β为锐角，∴tanβ＞0，

∴1＋tanβ≠0，∴tanα－1＝0即tanα＝1.

15．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________.

[答案]　1

[解析]　由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC为等腰三角形，其中角C＝90°，则两直角边的高的交点为C，即C与H重合．而O为斜边AB的中点，所以与为相反向量，所以有＋＝0，于是＝m，而C与H重合，所以m＝1.

16．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间内是增函数；

④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

[答案]　①②③

[解析]　f＝3sin＝－3，①正确；

f＝3sinπ＝0，②正确；

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得，

kπ－≤x≤kπ＋，

∴f(x)的增区间为(k∈Z)，

令k＝0得增区间为，③正确；

由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，④错误．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点.

(1)求实数m的值；

(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．

[解析]　(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x，

由已知f＝m＋cos＝2，得m＝1.

(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x

＝1＋sin，

∴当sin＝－1时，f(x)取得最小值1－，

由sin＝－1得，2x＋＝2kπ－，

即x＝kπ－(k∈Z)

所以f(x)取得最小值时，x值的集合为

x|x＝kπ－，k∈Z.

18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f(α)的值．

[解析]　(1)由cosx≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，

故f(x)的定义域为.

(2)因为tanα＝－，且α是第四象限的角，

所以sinα＝－，cosα＝，

故f(α)＝

＝

＝＝

＝2(cosα－sinα)＝.

19．(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f(x)＝2sincos＋cos.

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；

(2)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

[解析]　(1)∵f(x)＝sin＋cos

＝2sin，

∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.

当sin＝－1时，f(x)取得最小值－2；

当sin＝1时，f(x)取得最大值2.

(2)由(1)知f(x)＝2sin，

又g(x)＝f，

∴g(x)＝2sin

＝2sin＝2cos.

∵g(－x)＝2cos＝2cos＝g(x)，且定义域为R，∴函数g(x)是偶函数．

20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－，0°<α<90°.

(1)求α的值；

(2)求sin(α＋10°)[1－tan(α－10°)]的值．

[解析]　(1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α)

＝sin(90°＋2α)＝cos2α，

∴cos2α＝－.即cos2α＝－.

∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，

∴2α＝120°，α＝60°.

(2)sin(α＋10°)[1－tan(α－10°)]

＝sin70°(1－tan50°)＝sin70°·

＝

＝＝－

＝－＝－＝－1.

21．(本题满分12分)(2010·江西文，19)已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．

(1)若tanα＝2，求f(α)；

(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)

＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x

∴f(α)＝

＝＝＝.

(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx

＝＋＝sin(2x＋)＋，

∵≤x≤⇒≤2x＋≤⇒－≤sin(2x＋)≤1⇒0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．

22．(本题满分14分)设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－，)．

(1)试证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.

[解析]　(1)(a＋b)·(a－b)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos2α－＋sin2α－＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

(2)由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，平方得(a＋b)2＝(a－b)2，整理得2a2－2b2＋4ab＝0①.

∵|a|＝1，|b|＝1，∴①式化简得a·b＝0，

a·b＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.

[点评]　(1)问可由|a|＝1，|b|＝1得，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．