人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步测试题

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(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)．

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析　sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0，

∴sin θ<0，∴θ是第四象限角．

答案　D

2．函数y＝sin x的值域是(　　)．

A．[－1,1]   B.

C.   D.

答案　B

3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为(　　)．

A.             B．－               C．4                D．－4

解析　a在e的方向上的投影为|a|cos ＝8×＝－4.

答案　D

4．下列关系式中，不正确的是(　　)．

A．sin 585°<0   B．tan(－675°)>0

C．cos(－690°)<0   D．sin 1 010°<0

解析　585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，

∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角，

∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角，

∴cos(－690°)>0.

答案　C

5．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝(　　)．

A.           B.            C.               D．－

解析　由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，

所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

得φ＝kπ＋(k∈Z)．

又|φ|<，所以k＝0，φ＝，故应选C.

答案　C

6．已知D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设＝a，＝b，则等于(　　)．

A.(a－b)   B.(b－a)

C.(2a＋b)   D.(2b－a)

解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选C.

答案　C

7．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)．

A.             B.           C.              D.

解析　本题若直接求|a＋3b|则较为困难，因此解答时可依据公式|a|＝先求(a＋3b)2.

因为|a|＝1，|b|＝1，且它们的夹角为60°，

故a·b＝cos 60°＝，

所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋3＋9＝13，

即|a＋3b|＝，故应选C.

答案　C

8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于(　　)．

A.          B．－          C.             D．－

解析　原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)

＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝.

答案　A

9．设向量a＝(cos 25°，sin 25°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，若t是实数，且c＝a＋tb，则|c|的最小值为(　　)．

A.            B．1          C.              D.

解析　c＝a＋tb＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，tcos 20°)

＝(cos 25°＋tsin 20°，sin 25°＋tcos 20°)，

∴|c|＝

＝＝

＝，

∴当t＝－时，|c|最小，最小值为.

答案　C

10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)．

A.  　　　　　　 B.

C.  　　　　　　 D.

解析　∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B

＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，

∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C

＝2sin＝1.

∴sin＝，

∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π.

答案　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．

11．若＝－，则sin α＋cos α＝________.

解析　原式可化为

＝

＝－，∴sin α＋cos α＝.

答案　

12．已知向量m＝(sin x，cos x)，p＝(2，1)．若m∥p，则sin x·cos x＝________.

解析　∵m∥p，∴sin x＝2cos x，tan x＝2，

∴sin x·cos x＝＝＝.

答案　

13．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－·b.

则向量a与c的夹角为________．

解析　∵a·c＝a·a－·b·a＝a·a－a·a＝0，

∴a⊥c，即a与c的夹角为90°.

答案　90°

14．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)的值为________．

解析　tan(α＋)＝tan

＝＝＝.

答案　

三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(10分)对任意实数x和整数n，已知f(sin x)＝sin[(4n＋1)x]，求f(cos x)．

解　f(cos x)＝f＝sin

＝sin＝sin

＝cos[(4n＋1)x]．

16．(10分)已知a，b不共线，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．

解　∵＝＋＝－＋＝a－4b，

而a与b不共线，∴≠0.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

故存在实数λ，使＝λ，即2a＋kb＝λa－4λb.

又∵a与b不共线，

∴由平面向量基本定理，得⇒k＝－8.

17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝.

(1)求的值；

(2)求tan的值．

解　(1)因α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝＝.

∴＝

＝＝20.

(2)∵tan α＝＝，∴tan＝＝＝.

18．(12分)设a＝，b＝，若a∥b，求锐角α的值．

解　∵a＝，b＝，且a∥b，

∴×－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝.

由，

得sin α＋cos α＝

＝ ＝，

∴sin α、cos α是方程x2－x＋＝0的两根．

解得，或

又α∈，∴α＝或.

19．(12分)已知向量b＝(m，sin 2x)，c＝(cos 2x，n)，x∈R，f(x)＝b·c，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.

(1)求m、n的值；

(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；

解　(1)f(x)＝mcos 2x＋nsin 2x，

∵f(0)＝1，∴m＝1.

∵f＝1，∴n＝1.

(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin，

∴f(x)的最小正周期为π.

∵x∈，∴≤2x＋≤.

∴当x＝0或x＝时，f(x)的最小值为1.