高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课堂检测

第三章综合检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知0＜α＜＜β＜π，又sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝(　　)

A．0　　　　　　　　　　

B．0或

C. 

D．±

[答案]　C

[解析]　∵0＜α＜＜β＜π且sinα＝，cos(α＋β)＝－，

∴cosα＝，＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝±，

当sin(α＋β)＝时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα

＝×－×＝；

当sin(α＋β)＝－时，

sinβ＝－×－×＝0.

又β∈，∴sinβ＞0，故sinβ＝.

[点评]　(1)可用排除法求解，∵＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A，B，D.

(2)由cos(α＋β)＝－及sinα＝可得sinβ＝(1＋cosβ)代入sin2β＋cos2β＝1中可解得cosβ＝－1或－，再结合<β<π可求sinβ.

2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是(　　)

A．π＜θ＜ 

B.＜θ＜

C.＜θ＜2π 

D.＜θ＜

[答案]　B

[解析]　∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞或sinθ＜－，

又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－，

由正弦曲线得满足条件的θ取值为＜θ＜.

3．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象(　　)

A．向左平移个单位得到

B．向右平移个单位得到

C．向左平移个单位得到

D．向右平移个单位得到

[答案]　C

[解析]　y＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)

＝sin2(x＋)

y＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)＝sin2(x－)

其中x＋＝(x＋)－

∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．

4．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin15°cos15° 

B．cos215°－sin215°

C．2sin215°－1 

D．sin215°＋cos215°

[答案]　B

[解析]　2sin15°cos15°＝sin30°＝，排除A.

cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选B.

5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是(　　)

A.　　　

B.　　　

C.　　　

D.

[答案]　B

[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°

＝1＋sin30°＝1＋×＝.

6．若f(x)＝2tanx－，则f的值是(　　)

A．－ 

B．－4

C．4 

D．8

[答案]　D

[解析]　f(x)＝2tanx＋＝2

＝2·＝，∴f()＝＝8.

7．若－≤x≤，则函数f(x)＝sinx＋cosx的最大值和最小值分别是(　　)

A．1，－1 

B．1，－

C．2，－1 

D．2，－2

[答案]　C

[解析]　∵x∈，∴x＋∈，

∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，

∴f(x)最小值为－1，最大值为2.

8．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　　)

A．4　　　　

B．－6　　　

C．－3　　　

D．－4

[答案]　D

[解析]　f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＋a

＝2sin＋a＋1

∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4，∴a＝－4.

9．(09·重庆理)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)

A. 

B.

C. 

D.

[答案]　C

[解析]　∵m·n＝sinAcosB＋sinB·cosA

＝sin(A＋B)＝sinC＝1－cosC，

∴sin＝，

又∵0<C<π，∴C＋＝，故C＝.

10．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

[答案]　D

[解析]　如图，令BD＝1，则AB＝4，AD＝，tanθ＝，

tanA＝tan2θ＝＝＝，故选D.

11．(09·江西理)若函数 f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)

A．1　　　　

B．2　　　　

C.＋1　　　

D.＋2

[答案]　B

[解析]　f(x)＝(1＋tanx)cosx

＝cosx＋sinx＝2cos(x－)．

又∵0≤x<，∴当x＝时，y取最大值为2.

12．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是(　　)

A. 

B．－

C．± 

D．±

[答案]　B

[解析]　由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得，

相加得cos(x－y)＝，

∵x、y均为锐角且sinx－siny<0，∴－<x－y<0，

∴sin(x－y)＝，

∴tan(x－y)＝－，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________.

[答案]　

[解析]　∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝

∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋tan20°·tan40°

＝－tan20°·tan40°＋tan20°·tan40°＝.

14.－的值为________．

[答案]　4

[解析]　原式＝

＝＝＝4.

15．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

[答案]　－

[解析]　∵α，β∈，∴α＋β∈，

∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.

∵β－∈，sin＝，

∴cos＝－.

∴cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝－.

16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列命题：

①y＝f(x)的最大值为；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间上单调递减；

④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

[答案]　①②③

[解析]　化简f(x)＝cos＋cos

＝cos－sin＝cos

∴f(x)max＝，即①正确．T＝＝π，即②正确．

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得，

kπ＋≤x≤kπ＋，即③正确．

将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位得

y＝cos≠f(x)，∴④不正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．

[解析]　(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得，sinθ＝±，cosθ＝±，

又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.

(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，则

cos(θ－φ)＝＝，

cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]

＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝.

18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.

(1)求m和a的值；

(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．

[解析]　(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax

＝－sin2ax＝－sin＋，

由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，

所以m＝－或m＝，

由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，

所以m＝－或m＝，a＝2.

(2)∵f(x)＝－sin＋，

∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，

∴x＝－(k∈Z)，

由0≤－≤　(k∈Z)，得k＝1或k＝2，

因此点A的坐标为或.

19．(本题满分12分)函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b，x∈，值域为[－5,1]，求a，b的值．

[解析]　∵f(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＋b

＝－2a·＋2a＋b

＝－2asin＋2a＋b，

∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1，

当a＞0时，有，∴a＝2，b＝－5，

当a＜0时，有，∴a＝－2，b＝1.

20．(本题满分12分)已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．

[解析]　方法一：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.

所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，

即sinB(sinA－cosA)＝0.

因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，从而cosA＝sinA.

由A∈(0，π)知，A＝，从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0，

即sinB－sin2B＝0.即sinB－2sinBcosB＝0.

由此得cosB＝，B＝.所以A＝，B＝，C＝.

方法二：由sinB＋cos2C＝0得

sinB＝－cos2C＝sin.

因为0<B、C<π，所以B＝－2C或B＝2C－.

即B＋2C＝或2C－B＝.

由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.

所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0.

即sinB(sinA－cosA)＝0.

因为sinB≠0，所以cosA＝sinA.

由A∈(0，π)，知A＝.

从而B＋C＝π，知B＋2C＝不合要求．

再由2C－B＝π，得B＝，C＝.

所以A＝，B＝，C＝.

21．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．

(2)当x∈时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m

＝2sin＋m＋1.

∴函数f(x)最小正周期T＝π，

在[0，π]上的单调递增区间为、.

(2)∵当x∈时，f(x)递增，

∴当x＝时，f(x)的最大值等于m＋3.

当x＝0时，f(x)的最小值等于m＋2.

由题设知解之得，－6<m<1.

22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.

(1)求；

(2)设AB＝3，求AB边上的高．

[解析]　(1)sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

∴⇔，

⇔＝2.

(2)∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－，将tanA＝2tanB代入上式并整理得2tan2B－4tanB－1＝9，解得tanB＝，舍去负值得，tanB＝，∴tanA＝2tanB＝2＋.设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝＋＝，由AB＝3得CD＝2＋，

所以AB边上的高为2＋.

[点评]　第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tanA＝2tanB，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．