人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精练

这是一份人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.1.3两角和与差的正切公式 一、选择题1．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是(　　)A．锐角三角形　　　　　B．钝角三角形C．直角三角形  D．形状不能确定[答案]　B[解析]　∵0<tanBtanC<1，∴B，C均为锐角，∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cosA<0，∴A为钝角．[点评]　也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tanB>0，tanC>0，∴tan(B＋C)＝>0.∴B＋C为锐角，从而A为钝角．2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是(　　)A．f(x)＝3x  B．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2x  D．f(x)＝tanx[答案]　B[解析]　对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于(　　)A．1  B．2C．tan10°  D.tan20°[答案]　A[解析]　∵tan(20°＋10°)＝，∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，∴原式＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan20°·tan10°)＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)A.  B．－C.或－  D．－或[答案]　B[解析]　由韦达定理得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，∴tan(α＋β)＝＝＝又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.[点评]　由tanα与tanβ的和与积，先判断tanα与tanβ的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是(　　)A．－  B．－C.或－  D．－或[答案]　A[解析]　由韦达定理得，tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是(　　)A．tanα·tanβ<1  B．sinα＋sinβ<C．cosα＋cosβ>1  D.tan(α＋β)<tan[答案]　D[解析]　取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．6.的值为(　　)A．2＋  B.C．2－  D.[答案]　C[解析]　sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.7．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.8．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案]　B[解析]　因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tanB＝＝＝，即＝，∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0<A<π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是(　　)A．－7  B．7C．－  D.[答案]　B[解析]　由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10．若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝(　　)A．－1  B．1C．－  D.[答案]　B[解析]　∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.二、填空题11．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案]　[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.12．化简＝________.[答案]　tan42°[解析]　原式＝＝tan(60°－18°)＝tan42°.13．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.[答案]　[解析]　tan＝tan＝＝.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.[答案]　1[解析]　tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.三、解答题15．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．[分析]　对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x)＋(12°＋x)＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式．[解析]　∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋·[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.16．设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.[解析]　由tanα，tanβ是方程的两根得⇒a≤且a≠0，又，∴tan(α＋β)＝＝＝－－a≥－－＝－.∴tan(α＋β)的最小值是－.17．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．[解析]　假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.又tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－.因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝30°，β＝45°.所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.