高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂检测

这是一份高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂检测，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 一、选择题1．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　　)A．0　　　　B.　　 　C．0或　　D．0或±[答案]　A[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.2．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)A．a<b<c  B．a<c<bC．b<a<c  D．b<c<a[答案]　B[解析]　a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，c＝·＝sin60°，由y＝sinx在(0°，90°)上单调增知：a<c<b.3.sin＋sin的化简结果是(　　)A．2sin  B．2sinC．2sin  D．2sin[答案]　A[解析]　sin＋sin＝sin＋sin＝cos＋sin＝2＝2＝2sin＝2sin.4．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)A.  B.C.或 D．－[答案]　B[解析]　∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.5．若α、β为两个锐角，则(　　)A．cos(α＋β)>cosα＋cosβB．cos(α＋β)<cosα＋cosβC．cos(α＋β)>sinα＋sinβD．cos(α＋β)<sinα＋sinβ[答案]　B[解析]　cos(α＋β)－(cosα＋cosβ)＝cosαcosβ－sinαsinβ－cosα－cosβ＝cosα(cosβ－1)－sinαsinβ－cosβ∵α、β是锐角，∴cosβ－1<0，cosβ>0，cosα>0，sinβ>0，sinα>0∴cos(α＋β)－(cosα＋cosβ)<0，∴cos(α＋β)<cosα＋cosβ.[点评]　∵α、β均为锐角，∴cosβ>0,0<α<α＋β<π，∵y＝cosx在(0，π)上单调递减．∴cosα>cos(α＋β)，∴cosα＋cosβ>cos(α＋β)．故A错，B对；当α、β很接近于0时，sinα＋sinβ接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D错，当α＝β＝时，C错．6．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为(　　)A.  B．－C.  D．－[答案]　B[解析]　由条件得，sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝m，∴sinβ＝－m.又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－＝－.7．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝－，则cos(α－β)的值是(　　)A.  B.  C.  D．1[答案]　B[解析]　∵sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝－，∴(sinα－sinβ)2＋(cosα－cosβ)2＝(1－)2＋(－)2∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α­β)＝.8．若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于(　　)A．－1  B．0  C．1  D．±1[答案]　B[解析]　∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.9．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于(　　)A．－3  B．－2  C．－1  D．－[答案]　C[解析]　y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos(x∈R)．∵x∈R，∴x＋∈R，∴ymin＝－1.10．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是(　　)A．x≤y  B．x＜y  C．x≥y  D．x＞y[答案]　D[解析]　∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.二、填空题11．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.[答案]　－[解析]　由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，∵450°<β<540°，∴sinβ＝，∴sin(60°－β)＝·－×＝－.12．已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.[答案]　[解析]　∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.13．化简(tan10°－)·＝________.[答案]　－2[解析]　(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝·＝·＝·＝·＝－2.14．函数y＝cosx＋cos的最大值是________．[答案]　[解析]　法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sinsin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cosx＋cosxcos－sinxsin＝cosx－sinx＝＝cos，当cos＝1时，ymax＝.三、解答题15．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．[解析]　∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.16．求证：－2cos(α＋β)＝.[解析]　sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.[点评]　在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．17．在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，求cosC.[解析]　∵0<cosB＝<，且0<B<π.∴<B<，且sinB＝.又∵0<sinA<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cosA＝.∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝.[点评]　本题易忽视对角范围的讨论，直接由sinA＝得出cosA＝±，导致错误结论cosC＝或.18．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．[解析]　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝，又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝.(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.