人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试课时训练

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第二十三教时教材：复习二——实数与向量的数量积（续）     目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。过程：一、     继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理——平几问题1．  如图：已知MN是△ABC的中位线，求证：MN=BC, 且MN∥BC证：∵MN是△ABC的中位线，∴,  ∴∴MN=BC, 且MN∥BC2．  证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设= b，= a，则=+= b+a, =∵A, G, D共线，B, G, E共线∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa,  = μ= μ(b+a)=μb+μa,∵      即：b + (μb+μa) =λb+λa∴(μλ)a + (μλ+)b = 0    ∵a,  b不平行，∴ 即：AG = 2GD   同理可化：AG = 2GD ,  CG = 2GF3．  设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)而=(a+5b)     ∴= (+ 1)又∵, 有公共点   ∴A,B,D三点共线4．  求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a 2b的终点在同一直线上。证：依题意，可设= a,  = b,  = 3a 2b    == b  a ,  == 3a 2b  a = 2(a  b)∴= 2   由于,起点均为A，∴三点A,B,C共线，即起点相同的三个非零向量a、b、3a 2b的终点在同一直线上5．  已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设= t  (tR)则=+=+ t=+ t() = (1t)+ t令1t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1充分性：==λ+ μ= (λ1)+ μ= μ+ μ= μ() = μ                      ∴三点A、B、C共线6．  某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v  a，设= a，= 2a∵+= ∴= v  a，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵+= ∴= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：PBO = 45,  PABO, BA = AO从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =a  即：|v | =a∴实际风速是a的西北风二、     作业： 《导学•创新》  §5. 3